CW-complejo

En topología y geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en topología (especialmente en topología algebraica) y en geometría diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

Definición

Célula

En topología se denomina célula a un espacio topológico $e$ que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo $n\ge 0$ de manera que $e\sim {ℝ}^n$ (donde $\sim$ representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que $e$ es una $n$-célula, y que la dimensión de $e$ es $n$ (denotado por $|e|:=dim(e)=n$).

Descomposición celular

Sea $X$ un espacio topológico. Se dice que el par $(X,ℰ)$ es una descomposición celular de $X$ si $ℰ$ es una partición de $X$ en células, es decir, cada elemento de $ℰ$ es una célula, $X$ es la unión de todos los elementos de $ℰ$ y dos elementos distintos de $ℰ$ son disjuntos (si $e_1,e_2\in ℰ$ y $e_1\ne e_2$, entonces $e_1\cap e_2=\varnothing$).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo $n$ una descomposición celular $(X,ℰ)$ de $X$, se denomina conjunto de $n$-células a la unión de todas las células de dimensión $n$ (es decir, a $\bigcup _{e\in ℰ:|e|=n}e$). Se denomina así mismo $n$-esqueleto al conjunto $X^n:=\bigcup _{e\in ℰ:|e|\le n}e$, es decir, a la unión de los conjuntos de $m$-células, cuando $m\le n$.

Si existiese algún $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ de forma que $X=X^n$, diremos que $X$ tiene dimensión finita. En ese caso, al menor $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ de forma que $X=X^n$ se le denomina dimensión de $X$ ($n=dim(X)$). En caso contrario (es decir, si $X$ no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de $X$ es infinita ($dim(X)=\mathrm{\infty }$). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si $X$ es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares

Sea $(X,ℰ)$ una descomposición celular. Se dice que $(X,ℰ)$ es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que $(X,ℰ)$ es una CW-descomposición de $X$, o que $(X,ℰ)$ es una descomposición de tipo CW de $X$) si se cumple las siguientes condiciones:

• Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula $e\in ℰ$ existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula $e$) ${\mathrm{\Phi }}_e:\stackrel{n}{\stackrel{‾}{B}}⟶X$ de tal forma que ${\mathrm{\Phi }}_e|B^n$ es un homeomorfismo entre $B^n$ y $e$, y ${\mathrm{\Phi }}_e(S^{n-1})\subseteq X^{n-1}$ (donde aquí $n=dim(e)$, $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{B}}:=\{x\in {ℝ}^n:||x||\le 1\}$, es decir, $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{B}}$ representa a la bola cerrada de ${ℝ}^n$ centrada en le origen y de radio 1, $B^n:=\{x\in {ℝ}^n:||x||<1\}$, es decir, $B^n$ representa a la bola abierta de ${ℝ}^n$ centrada en el origen y de radio 1 y $S^{n-1}:=\{x\in {ℝ}^n:||x||=1\}$ es la esfera de ${ℝ}^n$ centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de ${\mathrm{\Phi }}_e$ a $S^{n-1}$ (esto es a ${\varphi }_e:={\mathrm{\Phi }}_e{|}_{S^{n-1}}$) se la denomina aplicación sujeción para la célula $e$.
• Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula $e\in ℰ$, su clausura $\bar{e}$ está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, $\bar{e}$ tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
• Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto $F\subset X$ es cerrado cuando y sólo cuando $F\cap \bar{e}$ lo es (cerrado) en $\bar{e}$, cualquiera que sea la célula $e\in ℰ$.