Carta (matemática)

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Definición de cartas

Dado $M_{}^{}$ un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión $m_{}^{}$ en $M_{}^{}$ a un par $(U,{\mathrm{\Phi }}_{}^{})$ tal que la aplicación $\mathrm{\Phi }:U=\stackrel{\circ }{U}\subset M\to {ℝ}^m$ cumpla que ${\mathrm{\Phi }}_{}^{}(U)$ sea un abierto y ${\mathrm{\Phi }}_{}^{}$ sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

• Diremos que $U_{}^{}$ es un abierto coordenado.
• Si $p\in U$, diremos que $U_{}^{}$ es un entorno coordenado de $p_{}^{}$.

• Si $\mathrm{\Phi }(p)=0_{}^{}$, diremos que la carta está centrada en $p_{}^{}$.

Ejemplos triviales

1) Si $M={ℝ}^n$ podemos ver que $({ℝ}^n,id:{ℝ}^n\to {ℝ}^n)$ es carta $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>0$.

2) Si $M=ℝ$ pordemos ver que $((a,b),i:(a,b)\hookrightarrow ℝ)$ es carta $\mathrm{\forall }a,b\in ℝ:a<b$.

3) Si $M=ℝ$ podemos ver que $(ℝ,x\mapsto x^3)$ es carta, también lo es $x^{2n+1}\mathrm{\forall }n>1$.

Demostración:

$ℝ$ es espacio topológico, $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\exists }!x^3,\mathrm{\exists }!\sqrt[3]{x}$, luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si $M=S^1\subset {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}\cong ℂ$ podemos ver que $(S^1\{i\},\varphi )$ es carta para:

$\begin{array}{cccc}\varphi :& S^1\{i\}& ⟶& (-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ & z& ⟼& \theta :=\det -{\arg }_{(-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})}(z)\end{array}$.

5) Si $M=S^1\subset {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}\cong ℂ$ podemos ver que $(S^1\{i\},\psi )$ es carta para:

la proyección estereográfica $\begin{array}{cccc}\psi :& S^1\{i\}& ⟶& ℝ\\ & z& ⟼& x:=\frac{cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}\end{array}$.

Caso particular en el que n=2

6) Si $M=S^n\subset {ℝ}^{n+1}$ podemos ver que $(S^n\{(0,\dots ,0,1)\},\varphi )$ es carta para:

$\begin{array}{cccc}\varphi :& S^n\{(0,\dots ,0,1)\}& ⟶& {ℝ}^n\\ & (x_1,\dots ,x_{n+1})& ⟼& \frac{(x_1,\dots ,x_n)}{1-x_{n+1}}\end{array}$.

Bibliografía

• William M. Boothby, An Introduction to Differenciable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed. San Diego: Academic Press, 1986.
• Carmo, M. do, Riemannian Geometry. Boston: Birkhäuser, 1993.
• Currás Bosch, C. Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 2003.
• Girbau, J. Geometria diferencial i relativitat. Bellaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona,1993.
• Hicks, N. J. Notas sobre la geometría diferencial. Barcelona: Hispano Europea, 1973.
• Kobayashi, S., Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, vol. I. New York [etc.] : Interscience, 1963.
• Spivak, M. A. Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Boston [Mass.]: Publish or Perish, 1970-1975.

Volumen I,II,IV.

• Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York : Springer, 1983.
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Roger Penrose: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
• Spivak, Michael, Cálculo en variedades. Reverté (1988), ISBN 84-291-5142-7
• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X.