Cero elevado a cero

Cero elevado a cero (denotado Plantilla:Math) es una expresión matemática que se define como 1 o se deja indefinida, dependiendo del contexto. En álgebra y combinatoria, se suele definir como 1. En análisis matemático, a veces no se define. Los lenguajes de programación y los programas de ordenador también tienen formas diferentes de tratar esta expresión.

Exponentes enteros

Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que implican exponentes de números naturales requieren que Plantilla:Math se defina como Plantilla:Math. Por ejemplo, las tres interpretaciones siguientes de Plantilla:Math tienen tanto sentido para Plantilla:Math como para los enteros positivos Plantilla:Mvar:

• La interpretación de Plantilla:Math como producto vacío le asigna el valor Plantilla:Math;
• la interpretación combinatoria de Plantilla:Math es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de Plantilla:Math-elementos; hay exactamente una 0-tupla;
• la interpretación en teoría de conjuntos de Plantilla:Math es el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto de Plantilla:Math-elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía.

Los tres se particularizan en dar Plantilla:Math = 1.

Polinomios y series de potencias

Al evaluar polinomios, es conveniente definir Plantilla:Math como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es una indeterminada, y los coeficientes Plantilla:Math son números reales. Los polinomios se suman por términos y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas habituales para los exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo Plantilla:Math.

Exponentes continuos

Dibujo de $z=x^y$. Las curvas rojas (con $z$ constante) tienen diferentes límites cuando $(x,y)$ se aproxima a $(0,0)$. En cambio las curvas verdes (de pendiente constante finita, $y=ax$) tienden todas a Plantilla:Math cuando nos aproximamos al origen.

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada. De hecho, cuándo$f(t)$ y $g(t)$ son funciones reales ambas con límite 0 cuando $t$ tiende a infinito y $f(t)>0$, la función $f(t{)}^{g(t)}$ no necesariamente se acerca a Plantilla:Math cuando $f(t)$ y $g(t)$ tienden a 0. En ese caso, el límite de $f(t{)}^{g(t)}$ puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma $f(t{)}^{g(t)}$ con $f(t)\to 0$ y $g(t)\to 0$ cuando $t\to 0^{+}$pero los límites son diferentes:

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^t=1,$

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)}^t=0,$

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)}^{-t}=+\mathrm{\infty },$

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\left(e^{-\frac{1}{t}}\right)}^{at}=e^{-a}.$

Así, la función de dos variable $x^y$ es continua en el dominio$\{(x,y):x>0\}$ pero no se puede extender como función continua el dominio $\{(x,y):x>0\}\cup \{(0,0)\}$. Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo $f$ y $g$ son ambas Plantilla:Mathunciones analíticas en cero y $f$ es positiva en el intervalo abierto $(0,b)$ para algún positivo $b$, el límite por la derecha en 0 siempre es Plantilla:Math.

Exponentes complejos

En los números complejos, la función $z^w$ puede ser definida para $z$ no nulo eligiendo una rama de $\log z$ y definiendo $z^w$ como $e^{w\log z}$. Esto no define $0^w$ puesto que no hay ninguna rama de $\log z$ definida en 0.

La historia de $0^0$desde diferentes puntos de vista

El debate sobre la definición de $0^0$ viene desde al menos desde comienzos del Plantilla:Siglo. En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que $0^0=1$, hasta que en 1821 Cauchy listó $0^0$ junto con las expresiones del tipo $\frac{0}{0}$ en la tabla de formas indeterminadas. En el año 1830 en el Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja publicó un argumento poco convincente de que $0^0=1$, y Möbius a la par, erróneamente afirmó que $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t{)}^{g(t)}=1$ siempre y cuando $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }g(t)=0$. Un comentarista quien firmó su nombre sencillamente tan solo con "S" proporcionó un contraejemplo con la función $(e^{-1/t}{)}^t$, y esto calmó el debate por algún tiempo. Más detalles históricos pueden encontrarse en Knuth (1992).

Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:

• Algunos argumentan que el valor más adecuado para $0^0$ depende del contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir $0^0$ está basada en la conveniencia, no en la exactitud. [...] El consenso es utilizar la definición $0^0=1$, a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."
• Otros argumentan que $0^0$ debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que $0^0$ "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor $0^0$, el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma límite $0^0$ (una abreviatura para un límite de $f(x{)}^{g(x)}$ cuando $f(x),g(x)\to 0$ ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado." Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que $0^0=1$ para ser expresados en forma sencilla.

Enlaces externos

• sci.Matemática FAQ: Qué es 00?
• Qué 00 (cero al zeroth poder) igual? En Askamathematician.com