Clausura simétrica

Sea $R$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto $A$, la clausura simétrica o cierre simétrico de $R$, denotada $CS(R)$, es la relación simétrica más pequeña aplicada sobre $A$ que contiene a $R$.

En otras palabras, $CS(R)$ es la relación binaria que verifica:

1. $R\subseteq CS(R)$
2. $CS(R)$ es simétrica
3. Si $R^{\prime }$ es una relación simétrica tal que $R\subseteq R^{\prime }$, entonces $CS(R)\subseteq R^{\prime }$

Note que si $R$ es simétrica, entonces $CS(R)=R$.

Cómo calcularla

Si tenemos una relación binaria $ℛ$ sobre un conjunto de n elementos $\{a_1,\dots ,a_n\}$, para calcular la clausura simétrica conviene representar esta relación binaria como una matriz booleana $B_{ℛ}$ definida como: Plantilla:Ecuación Es decir, si el elemento a_i y el elemento a_j están relacionados entonces en la fila i y la columna j de la matriz boleana aparecerá un 1, y si no están relacionados aparecerá un 0.

Si tenemos una relación expresada como matriz booleana, para obtener la matriz que representará a la clausura simétrica se cambian algunos ceros (0) por unos (1), en la matriz de la relación original para que la matriz final sea simétrica respecto de la diagonal principal.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{𝟏}& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& \mathrm{𝟏}& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& \mathrm{𝟏}& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& \mathrm{𝟏}& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& \mathrm{𝟏}& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& \mathrm{𝟏}\end{array}$

La regla de cambio es: si $b_{ij}\ne b_{ji}$ entonces debemos hacer el siguiente cambio ${\overline{b}}_{ij}:={\overline{b}}_{ji}=\max \{b_{ij},b_{ji}\}$.

Véase también

• Clausura reflexiva
• Clausura transitiva