Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto $\{A_i,{\delta }_i\}$ consistente en estructuras algebraicas $A_i$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y ${\delta }_i$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción

$\dots \to A_{n+1}\begin{array}{c}{\delta }_{n+1}\\ \to \\ \end{array}{A}_n\begin{array}{c}{\delta }_n\\ \to \\ \end{array}{A}_{n-1}\to \dots$

satisface ${\delta }_n\circ {\delta }_{n+1}=0$. Esta última condición implica $\mathrm{im}{\delta }_{n+1}\subseteq \ker {\delta }_n$ para toda $n$. Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Notación

El símbolo $A_{\bullet }$ se utiliza para designar al par $\{A_i,{\delta }_i\}$.

La homología

A las estructuras cociente

$H_n(A_{\bullet })=\frac{\ker {\delta }_n}{\mathrm{i}\mathrm{m}{\delta }_{n+1}}$

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas $A_{\bullet }$

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas

cadeno-morfismo $f_{\bullet }=\{f_i\}$.

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos $A_{\bullet }=\{A_q,{\delta }_q\}$ y $B_{\bullet }=\{B_q,{\gamma }_q\}$ es un conjunto $f_{\bullet }=\{f_q\}$ de morfismos entre las estructuras algebraicas $A_q\stackrel{f_q}{\to }{B}_q$ tales que $f_q\circ {\delta }_{q+1}={\gamma }_{q+1}\circ f_{q+1}$. Simbólicamente $f_{\bullet }:A_{\bullet }\to B_{\bullet }$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos $A_q\stackrel{g_q}{\to }{B}_{q-d}$ con la misma propiedad $g_q\circ {\delta }_{q+1}={\gamma }_{q+1}\circ g_{q+1}$

Como categoría

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico $(X,A)$ una familia de grupos abelianos $\{H_n(X,A)\}$ que formarán una complejo de cadenas $\cdots \to H_i(A)\to H_i(X)\to H_i(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots$ y donde un mapeo continuo $f:(X,B)\to (Y,B)$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos $f_{\mathrm{\#}}:H_i(A)\to H_i(B)$, $f_{\mathrm{\#}}:H_i(X)\to H_i(Y)$ y $f_{\mathrm{\#}}:H_i(X,A)\to H_i(Y,B)$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.

Referencias

Bibliografía

• Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, Birkhäuser, 1989. ISBN 0-8176-3388-X, ISBN 3-7643-3388-X

Véase también

• functores
• cohomología.