Complejo simplicial

Un ejemplo de complejo simplicial. Este consiste en 17 puntos (0-símplices), 22 aristas (1-símplices), 8 triángulos (2-símplices) y 1 tetraedro (3-símplice).

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Ejemplo

Sean $p_0,\dots ,p_k\in {ℝ}^n$ con $k\ge 1$ que están en posición general, la envolvente convexa del conjunto $\{p_0,\dots ,p_k\}$ se llama k-símplice de ${ℝ}^n$ y se denota $⟨p_0,\dots ,p_k⟩$. Se prueba sin dificultad que:

$⟨p_0,\cdots ,p_k⟩=\{a\in {ℝ}^n|a=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{p}_i\}$

con $\sum _{i=0}^k{\lambda }_i=1$ y ${\lambda }_i\ge 0$ para todas las i.

Los ${\lambda }_i$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto $a$. Si tomamos $\{p_{i_1},\dots ,p_{i_r}\}\subseteq \{p_0,\dots ,p_k\}$, se dice que el r-símplice $⟨p_{i_1},\cdots ,p_{i_r}⟩$ es una cara de $⟨p_0,\cdots ,p_k⟩$.

Observe que un 0-símplice es un punto, un 1-símplice es un segmento, un 2-símplice es un triángulo y un 3-símplice es un tetraedro.

Caracterización

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de $K$- símplices de ${ℝ}^n$ que cumple las dos condiciones siguientes:

1. Si un símplice pertenece a $K$, entonces todas sus caras pertenecen a $K$.
2. Si dos símplices de $K$ se cortan, su intersección es una cara común.

Referencias

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Springer