Conjetura de Fermat–Catalan

En teoría de números, la conjetura de Fermat–Catalan combina ideas del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan, de ahí el nombre. La conjetura postula que la ecuación

tiene un número finito de soluciones (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c son números enteros positivos coprimos y m, n, k son enteros positivos que satisfacen

A fecha de 2008, se conocen las siguientes soluciones de Plantilla:Eqnref:

$1^m+2^3=3^2$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

La primera de ellas (1^m+2³=3²) es la única solución donde una de las variables a, b o c es 1; esta es la conjetura de Catalan, demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu. Técnicamente, este caso produce un número infinito de soluciones de Plantilla:Eqnref (puesto que se puede escoger cualquier m para m>6), pero a los efectos de enunciado de la conjetura de Fermat-Catalan se contabilizarán todas esas soluciones como una sola.

Se conoce, mediante el teorema de Faltings, que para cualquier elección fijada de enteros positivos m, n y k que satisfacen Plantilla:Eqnref, existe únicamente un número finito de tuplas de números enteros coprimos (a, b, c) que resuelven Plantilla:Eqnref, pero claro, la conjetura de Fermat–Catalan completa es una afirmación mucho más fuerte.

La conjetura abc implica la conjetura de Fermat–Catalan.