Constante de Bruijn-Newman

La constante de Bruijn-Newman, denotada por $\mathrm{\Lambda }$ y nombrada así por Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman, es una constante matemática definida a través de los ceros de cierta función $H:ℝ\times ℂ\to ℂ$ , donde consideramos a $\lambda$ como la variable real y a $z$ como la variable compleja . Específicamente se define

$H(\lambda ,z):=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\lambda u^2}\mathrm{\Phi }(u)\cos (zu)du$ ,

dónde $\mathrm{\Phi }:ℂ\to ℂ$ es

$\mathrm{\Phi }(u)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(2{\pi }^2{n}^4{e}^{9u}-3\pi n^2{e}^{5u})e^{-\pi n^2{e}^{4u}}$

la cual decae super -exponencialmente. Y de esta forma definimos $\mathrm{\Lambda }$ como el único número real con la propiedad de que $H(\lambda ,\cdot )$ tiene solamente ceros reales si y solo si $\lambda \ge \mathrm{\Lambda }$.

La constante $\mathrm{\Lambda }$ está estrechamente relacionada con la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann: dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de $H(0,\cdot )$ son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que $\mathrm{\Lambda }$. Brad Rodgers y Terence Tao demostraron que $\mathrm{\Lambda }<0$ no puede ser cierto, por lo que la hipótesis de Riemann es equivalente a $\mathrm{\Lambda }=0$ . Posteriormente, Alexander Dobner proporcionó una prueba simplificada del resultado de Rodgers-Tao.

Historia

De Bruijn demostró en 1950 que $H(\lambda ,\cdot )$ solo tiene ceros reales si $\lambda \ge \frac{1}{2}$ , y además, que si $H(\lambda ,\cdot )$ tiene solo ceros reales para algún $\lambda$, $H(\lambda ,\cdot )$ también tiene solo ceros reales si $\lambda$ se reemplaza por cualquier valor mayor. Newman demostró en 1976 la existencia de una constante $\mathrm{\Lambda }$ para la cual se cumple la afirmación "si y solo si"; y esto implica entonces que $\mathrm{\Lambda }$ es único. Newman también conjeturó que $\mathrm{\Lambda }\ge 0$.

Cotas Superiores

El límite superior de De Bruijn de $\mathrm{\Lambda }\le 1/2$ no mejoró hasta 2008, cuando Ki, Kim y Lee demostraron $\mathrm{\Lambda }<1/2$, haciendo estricta la desigualdad .

En diciembre de 2018, el proyecto 15th Polymath mejoró el límite a $\mathrm{\Lambda }\le 0,22$ . Se envió un manuscrito del trabajo de Polymath a arXiv a fines de abril de 2019, y se publicó en la revista Research In the Mathematical Sciences en agosto de 2019.

Este límite fue mejorado ligeramente en abril de 2020 por Platt y Trudgian para $\mathrm{\Lambda }\le 0.2$ .

Cotas inferiores a través del tiempo

Límites inferiores históricos

Año	Límite inferior en $\mathrm{\Lambda }$	Autores
1987	−50	Csordas, G.; Norfolk, TS; Varga, RS
1990	−5	Te Riele, HJJ
1992	−0.385	Norfolk, TS; Ruttán, A.; Varga, RS
1991	−0.0991	Csordas, G.; Ruttán, A.; Varga, RS
1993	−5,895 Plantilla:E	Csordas, G.; Odlyzko, AM; Smith, W.; Varga, RS
1994	−4,379 Plantilla:E	Csordas, George; Smith, Wayne; Varga, Richard S.
2000	−2,7 Plantilla:E	Odlyzko, AM
2011	−1,1 Plantilla:E	Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patricio
2018	0	Rogers, Brad; Tao, Terencio

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld