Constante de Gauss

En matemática, la constante de Gauss, denotada mediante la letra G, es definida como la inversa de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2:

G = \frac{1}{a g m (1, \sqrt{2})} = 0, 8346268 \dots

La constante es así llamada en honor a Carl Friedrich Gauss, quien, el 30 de mayo de 1799, descubrió que

G = \frac{2}{π} \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

así pues:

G = \frac{1}{2 π} B (\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}, \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix})

Relaciones con otras contantes

La constante de Gauss puede ser usada para expresar el valor particular de la función gamma si el argumento es 1/4:

Γ (\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{2 G \sqrt{2 π^{3}}}

y puesto que π y Γ(1/4) son algebraicamente independientes con Γ(1/4) e irracionales, la constante de Gauss es también un número trascendente.

La constantes de Gauss también puede ser usada en la definición de las constantes de la lemniscata; la primera de éstas es:

L_{1} = π G

y la segunda constante:

L_{2} = \frac{1}{2 G}

las cuales se plantean en problemas de cálculo de longitud de arco de una lemniscata.

Una fórmula que expresa G en términos funciones theta de Jacobi es la siguiente:

G = ϑ_{01}^{2} (e^{- π})

También hay representaciones en forma de series de convergencia rápida, como puede ser la siguiente:

G = \sqrt[4]{32} e^{- \frac{π}{3}} {(\sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} e^{- 2 n π (3 n + 1)})}^{2} .

La constante puede ser expresada también mediante un producto infinito

G = \prod_{m = 1}^{\infty} \tanh^{2} (\frac{π m}{2}) .

así como en forma de fracción continua mediante la siguiente secuencia: [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, …].