Constante omega

La constante omega de Lambert es una constante matemática definida como el único número que pertenece a los números reales que satisface la ecuación:

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1.$

La constante omega es el valor de Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar es [[Función W de Lambert|la función Plantilla:Mvar de Lambert]] . Ω= W(1)

Este nombre proviene de "La función Omega", la cual es un nombre alternativo para la función W de Lambert . El valor numérico de Plantilla:Math es :

Plantilla:Math (secuencia A030178 en la OEIS).

Plantilla:Math (secuencia A030797 en la OEIS).

Propiedades

Representación de punto fijo

La identidad definitoria se puede expresar, por ejemplo, como$\ln (\frac{1}{\mathrm{\Omega }})=\mathrm{\Omega }.$

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }.$$-\ln (\mathrm{\Omega })=\mathrm{\Omega }$

Cálculo

Plantilla:Math puede calcularse de forma iterativa, empezando con una estimación inicial Plantilla:Math y considerando la secuencia

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

Esta secuencia converge a Plantilla:Math mientras n se acerca al infinito, ya que Plantilla:Math es un punto fijo atractivo de la función Plantilla:Math .

Es mucho más eficiente usar la iteración

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}},$

ya que la función

$f(x)=\frac{1+x}{1+e^x},$

además de tener el mismo punto fijo, su derivada se desvanece en ese punto. Esto garantiza una convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos con cada iteración se duplica aproximadamente.

Usando el método de Halley, Plantilla:Math se puede aproximar con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos con cada iteración se triplica aproximadamente): (ver también Función W de Lambert ).

${\mathrm{\Omega }}_{j+1}={\mathrm{\Omega }}_j-\frac{{\mathrm{\Omega }}_j{e}^{{\mathrm{\Omega }}_j}-1}{e^{{\mathrm{\Omega }}_j}({\mathrm{\Omega }}_j+1)-\frac{({\mathrm{\Omega }}_j+2)({\mathrm{\Omega }}_j{e}^{{\mathrm{\Omega }}_j}-1)}{2{\mathrm{\Omega }}_j+2}}.$

Representaciones integrales

La constante omega se puede representar como la siguiente integral indefinida dada por Victor AdamchikPlantilla:Cn:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}.$

Otras relaciones por Mező y Kalugin-Jeffrey-Corless son:

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\log \left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right)dt,$

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\log (1+\frac{\sin t}{t}{e}^{t\cot t})dt.$

Las dos últimas identidades se pueden extender a otros valores de la función Plantilla:Mvar (ver también Función W de Lambert: Representaciones).

Trascendencia

La constante Plantilla:Math es trascendental . Esto se puede interpretar como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass .

Si por contradicción, suponemos que Plantilla:Math es algebraico. Según este teorema, Plantilla:Math es trascendental, pero sabemos que Plantilla:Math. Esto es una contradicción. Por tanto, debe ser trascendental.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Obra citada