Coordenadas de Jacobi

En la teoría de sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se usan con frecuencia para simplificar las fórmulas matemáticas. Estas coordenadas son especialmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas, y en mecánica celeste.

Algoritmo para N cuerpos

Un algoritmo para generar coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios. Literalmente el algoritmo se describe como sigue:

Sean m_j y m_k las masas de dos cuerpos que son reemplazados por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m_j + m_k.

Las coordenadas x _j y x _k se reemplazan por sus posiciones relativas r_jk =x_j − x_k y por el vector al centro de sus masas R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k).

El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m_j como rama derecha y m_k como rama izquierda. El orden de las ramas indica el punto de coordenadas relativas desde x'_k a x_j.

Repita esta secuencia para N − 1 cuerpos, o sea los N − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.

Un posible conjunto de coordenadas de Jacobi para el problema de los cuatro cuerpos; las coordenadas de Jacobi son r₁, r₂, r₃ y el centro de gravedad R. Véase Cornille.

Problema de los cuatro cuerpos

Para el problema de cuatro cuerpos el resultado es:

${𝒓}_1\mathit{=}{𝒙}_1\mathit{-}{𝒙}_2,$

${𝒓}_{𝒋}=\frac{1}{m_{0j}}\sum _{k=1}^j{m}_k{𝒙}_{𝒌}-{𝒙}_{𝒋\mathit{+}1},$

con

$m_{0j}=\sum _{k=1}^j{m}_k.$

El vector R es el centro de gravedad de todos los cuerpos:

$𝑹=\frac{1}{m_0}\sum _{k=1}^N{m}_k{𝒙}_{𝒌};$   $m_0=\sum _{k=1}^N{m}_k.$