Criterio de Cramér-von Mises

En estadística el criterio de Cramér-von Mises se emplea para juzgar la bondad de una función de distribución acumulada $F^{*}$ comparada con una función de distribución empírica $F_n$, o para comparar dos distribuciones empíricas. También se utiliza como parte de otros algoritmos, tal como la estimación de la distancia mínima. Se define como:

${\omega }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[F_n(x)-F^{*}(x){]}^2\mathrm{d}{F}^{*}(x)$

Aplicándolo a una única muestra, $F^{*}$ es la distribución teórica y $F_n$ es la empírica. Alternativamente las dos distribuciones pueden ser estimadas empíricamente; esto se conoce como un caso de dos muestras.

El criterio lleva los apellidos de Harald Cramér y Richard Edler von Mises, quienes fueron los primeros en exponerlo entre los años 1928-1930. La generalización de las dos muestras es obra de Theodore Wilbur Anderson.

El criterio es una alternativa al test de Kolmogorov-Smirnov.

Test de Cramér-von Mises (una muestra)

Sean $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ los valores observados, en orden creciente. Entonces el estadístico esPlantilla:Rp

$T=n{\omega }^2=\frac{1}{12n}+\sum _{i=1}^n{[\frac{2i-1}{2n}-F(x_i)]}^2.$

Si este valor es mayor que el valor tabulado, se puede rechazar la hipótesis de que los datos provienen de la distribución $F$

Test de Watson

Una versión modificada del criterio es el test de Watson, el cual usa el estadístico U², donde

$U^2=T-n(\overline{F}-\frac{1}{2}{)}^2,$

donde

$\overline{F}=\frac{1}{n}\sum F(x_i).$

Test de Cramér–von Mises test (dos muestras)

Sean $x_1,x_2,\cdots ,x_N$ y $y_1,y_2,\cdots ,y_M$ los valores observados en la primera y segunda muestra respectivamente, en orden creciente. Sean $r_1,r_2,\cdots ,r_N$ los rangos de x en la muestra combinada, y sean $s_1,s_2,\cdots ,s_M$ los rangos de y en la muestra combinada. AndersonPlantilla:Rp muestra que

$T=N{\omega }^2=\frac{U}{NM(N+M)}-\frac{4MN-1}{6(M+N)}$

donde U se define como

$U=N\sum _{i=1}^N(r_i-i{)}^2+M\sum _{j=1}^M(s_j-j{)}^2$

Si el valor de T es mayor que los valores tabulados,Plantilla:Rp se puede rechazar la hipótesis de que las dos muestras provienen de la misma distribución. Esto implica que no hay duplicados en $x$, $y$, y en las secuencias $r$. Por tanto $x_i$ es única, y su rango es $i$ en $x_1,...x_N$. Si hay duplicados, y $x_i$ en $x_j$ son valores idénticos, donde se puede utilizar el enfoque del medio rango método: asignar a cada duplicado un rango de $(i+j)/2$. En las ecuaciones precedentes, en las expresiones $(r_i-i{)}^2$ y $(s_j-j{)}^2$, los duplicados pueden alterar las cuatro variables $r_i$, $i$, $s_j$, y $j$.

Bibliografía

• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Cita libro
• Pearson, E.S., Hartley, H.O. (1972) Biometrika Tables for Statisticians, Volume 2, CUP. ISBN 0-521-06937-8 (page 118 and Table 54)
• Ruymgaart, F. H., (1980) "A unified approach to the asymptotic distribution theory of certain midrank statistics". In: Statistique non Parametrique Asymptotique, 1±18, J. P. Raoult (Ed.), Lecture Notes on Mathematics, No. 821, Springer, Berlín.
• Watson, G.S. (1961) "Goodness-Of-Fit Tests on a Circle", Biometrika, 48 (1/2), 109-114

Lecturas

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Enlaces externos

• Plantilla:Enlace roto (Documentación para llevar a cabo el test usando R
• Table of Critical values for 1 sample CvM test