Criterio de la media geométrica

En matemáticas, el criterio de la media geométrica es un criterio para probar la convergencia que permite la resolución de límites del tipo $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}$.

Criterio de la media geométrica

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de reales positivos con $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$, siendo $A>0$. Entonces, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}=A$.

El criterio también es cierto si $A=+\mathrm{\infty }$.

Ejemplo

Como la sucesión $a_n=\frac{n^2+2}{2n^2}$ converge a 1/2, entonces

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{3}{2}\cdot \frac{6}{8}\cdot ...\frac{n^2+2}{2n^2}}=\frac{1}{2}$

Corolario

Un corolario del criterio de la media geométrica es el criterio de la raíz, el cual establece que si una sucesión $\{a_n\}$ de reales positivos con $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}}=A>0$, entonces $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=A$.

Otros criterios de convergencia

• Criterio de Stolz
• Criterio de la media aritmética

Enlaces externos

• Media geométrica y de la raíz (con demostración y ejemplos)
• Convergencia de sucesiones Plantilla:Wayback