Criterio de la segunda derivada

El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función $f$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a $c$, y $f^{\prime }(c)=0,f(c)$ debe ser un mínimo relativo a $f$. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a $c$ y $f^{\prime }(c)=0,f(c)$ debe ser un máximo relativo de $f$.

Extremos relativos

Sea $f$ una función derivable dos veces en un entorno abierto que contiene a $x$ tal que $f^{\prime }(x)=0$ ($x$ es, consecuentemente, un punto crítico de $f(x)$) con la siguiente segunda derivada:

1. Si $f^{″}(x)<0$, entonces $f$ tiene un máximo relativo en $(x,f(x))$.
2. Si $f^{″}(x)>0$, entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $(x,f(x))$.
3. Si $f^{″}(x)=0$, entonces el criterio no decide. Esto es, $f$ quizás tenga un máximo relativo en $x$, un mínimo relativo en $(x,f(x))$ o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Ejemplo

Los puntos críticos de la función $f(x)=3x^3-8x^2+7x-2$ son $x=1$ y $x=7/9$. La función es dos veces derivable en entornos de estos puntos y su segunda derivada es $f^{″}(x)=18x-16$. Como $f^{″}(1)=2>0$ y $f^{″}(7/9)=-2<0$, por el criterio de la segunda derivada, $f$ tiene un mínimo local en $x=1$ y un máximo local en $x=7/9$.

Véase también

• Criterio de la primera derivada
• Criterio de la tercera derivada
• Extremos de una función
• Punto de inflexión
• Punto crítico
• Punto estacionario

Enlaces externos

Criterio de la Segunda Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

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