Criterio del cociente

Jean le Rond d'Alembert.

El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.

Definiendo con $n$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente $\mathrm{lim\; sup}$ y $\mathrm{lim\; inf}$ a los límites superior e inferior de la sucesión $\frac{A_{n+1}}{A_n}$ se obtienen cada uno de los siguientes casos:

• Si $\mathrm{lim\; sup}<1,A_n$ converge.
• Si $\mathrm{lim\; inf}>1,A_n$ diverge.
• Si $\mathrm{lim\; inf}\le 1\le \mathrm{lim\; sup}$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que $\mathrm{lim\; inf}=\mathrm{lim\; sup}=L$, siendo $L$ el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:

• Si $L<1,A_n$ converge.
• Si $L>1,A_n$ diverge.
• Si $L=1$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

Formalización del método

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

Tal que:

• $f(n)>0$ (o sea una sucesión de términos positivos) y
• $f(n)$ tienda a cero cuando $n$ tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión $\frac{f(n+1)}{f(n)}$ está acotada

1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n+1)}{f(n)}=L$

Así obtenemos $L$ y se clasifica de la siguiente manera:

• $L<1$ la serie converge
• $L>1$ la serie diverge
• $L=1$ el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

2) Si la sucesión $\frac{f(n+1)}{f(n)}$ no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.

Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(n+1)}{f(n)}=\mathrm{lim\; sup}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(n+1)}{f(n)}=\mathrm{lim\; inf}$

Con $\mathrm{lim\; sup}$ y $\mathrm{lim\; inf}$ se clasifica de la siguiente manera:

• Si $\mathrm{lim\; sup}<1$, la serie converge.
• Si $\mathrm{lim\; inf}>1$, la serie diverge.
• Si $\mathrm{lim\; inf}\le 1\le \mathrm{lim\; sup}$, el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Si $f(n)=\frac{n+1}{n!}$, clasificar $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$.

a)$f(n)=\frac{n+1}{n!}>0$

b) $\frac{n+1}{n!}$ tiende a cero conforme crece $n$ (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n+1)}{f(n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+2)}{(n+1{)}^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+1)+1}{(n+1{)}^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1{)}^2})=0$

y como $L<1$, la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ converge.

Véase también

• Jean Le Rond d'Alembert
• Criterio de la raíz

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Planetmath