Cuadrivelocidad

La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional que generaliza el concepto de velocidad de la mecánica newtoniana.

Relación entre velocidad y cuadrivelocidad

Relatividad especial

De la misma manera que la velocidad $𝐯$ en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad $𝐕$ es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto al tiempo propio de la partícula: Plantilla:Ecuación Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por: Plantilla:Ecuación Donde $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$ es la velocidad newtoniana convencional y $\gamma$ es el factor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que: Plantilla:Ecuación

Relatividad general

En relatividad las cosas son bastante más complicadas, particularmente si el espacio-tiempo no es estacionario. Ya que la relación entre la velocidad coordenada y la velocidad física de una partícula es funcionalmente complicada. Si bien el "módulo" la cuadrivelocidad es igual a la constante c, la velocidad coordenada numéricamente puede superar a la velocidad de la luz (esto pasa porque la velocidad coordenada, por ejemplo, no es un tensor). La cuadrivelocidad o velocidad física puede definirse como la derivada respecto al tiempo propio: Plantilla:Ecuación donde el tiempo propio dependerá del camino L seguido por la partícula: Plantilla:Ecuación Si el espacio tiempo es estacionario entonces existe un sistema de coordenadas donde el tensor métrico cumpla que $g_{0\alpha }=0$ y donde $g_{00}$ no dependa de la coordenada temporal, y en ese caso puede escogerse una foliación que define un tiempo universal. Y la integral anterior es más sencilla de evaluar.

En el caso general, la cuadrivelocidad se define como: Plantilla:Ecuación Donde $⟨𝐯,𝐯⟩={\kappa }_{ab}{v}^a{v}^b$ siendo $v^a$ las componentes de la velocidad coordenada, $a,b\in \{1,2,3\}$ y ${\kappa }_{ab}=g_{ab}-(g_{0a}{g}_{0b}/g_{00})$.

Relaciones con otras magnitudes

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde la cantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos el cuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con la masa en reposo: Plantilla:Ecuación

Véase también

• Cuadrivector
• Cuadrimomento
• Cuadriaceleración
• Anexo:Glosario de relatividad