Cuaterna pitagórica

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Las cuatro cuaternas pitagóricas formadas por valores de un solo dígito

Una cuaterna pitagórica es una tupla de números enteros Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math, de modo que Plantilla:Math. Son soluciones de una ecuación diofántica y, a menudo, solo se consideran valores enteros positivos.[1] Sin embargo, para proporcionar una interpretación geométrica más completa, se puede permitir que los valores enteros sean negativos y cero (permitiendo así incluir ternas pitagóricas) con la única condición de que Plantilla:Math. En esta configuración, una cuaterna pitagórica Plantilla:Math define un ortoedro con longitudes de lados enteros Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math, cuya diagonal espacial tiene una longitud entera Plantilla:Math. Las cuaternas pitagóricas, con esta interpretación, también se denominan "cajas pitagóricas".[2] En este artículo se asume, a menos que se indique lo contrario, que los valores de una cuaterna pitagórica son todos números enteros positivos.

Parametrización de cuaternas primitivas

Una cuaterna pitagórica se llama primitiva si el máximo común divisor de sus componentes es 1. Cada cuaterna pitagórica es un múltiplo entero de una cuaterna primitiva. El conjunto de las cuaternas pitagóricas primitivas para las que Plantilla:Math es impar puede ser generado por las fórmulas

a=m2+n2−p2−q2,b=2(mq+np),c=2(nq−mp),d=m2+n2+p2+q2,

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math son enteros no negativos con el mayor divisor común 1, de modo que Plantilla:Math es impar.[3][4][1] Por lo tanto, todas las cuaternas pitagóricas primitivas se caracterizan por la identidad de Lebesgue:

(m2+n2+p2+q2)2=(2mq+2np)2+(2nq−2mp)2+(m2+n2−p2−q2)2.

Parametrization alternativa

Todas las cuaternas pitagóricos (incluidas las no primitivas, y con repetición, aunque Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math no aparezcan en todos los órdenes posibles) se pueden generar a partir de dos enteros positivos Plantilla:Math y Plantilla:Math de la siguiente manera:

Si Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen paridad diferente, entonces se elige Plantilla:Math tal que sea cualquier factor de Plantilla:Math de modo que Plantilla:Math. A continuación, Plantilla:Math y Plantilla:Math. Téngase en cuenta que Plantilla:Math.

Existe un método similar[5] para generar todas las cuaternas pitagóricas para las que Plantilla:Math y Plantilla:Math son pares. Sea Plantilla:Math y Plantilla:Math y además sea Plantilla:Math un factor de Plantilla:Math tal que Plantilla:Math. Se tiene que Plantilla:Math y Plantilla:Math. Este método genera todas las cuaternas pitagóricas exactamente una vez cada una cuando Plantilla:Math y Plantilla:Math se ejecutan a través de todos los pares de números naturales y Plantilla:Math se ejecuta a través de todos los valores permitidos para cada par.

No existe tal método si Plantilla:Math y Plantilla:Math son impares, en cuyo caso no existen soluciones, como se puede ver en la parametrización de la sección anterior.

Propiedades

El número más grande que siempre divide el producto Plantilla:Math es 12.[6] La cuaterna con el producto mínimo es (1, 2, 2, 3).

Relación con cuaterniones y matrices ortogonales racionales

Una cuaterna pitagórica primitiva Plantilla:Math parametrizada por Plantilla:Math se corresponde con la primera columna de la aplicación matricial Plantilla:Math de conjugación Plantilla:Math por el cuaternión de Hurwitz Plantilla:Math restringido al subespacio de Plantilla:Math abarcado por Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, dado por

E(α)=(m2+n2−p2−q22np−2mq2mp+2nq2mq+2npm2−n2+p2−q22pq−2mn2nq−2mp2mn+2pqm2−n2−p2+q2),

donde las columnas son ortogonales dos a dos y cada una tiene norma Plantilla:Math. Además, se tiene que Plantilla:Math, y, de hecho, todas las matrices ortogonales de orden 3×3 con coeficientes racionales surgen de esta manera.[7]

Cuaternas pitagóricas primitivas con norma pequeña

Hay 31 cuaternas pitagóricas primitivas en las que todas las entradas son menores a 30:

( 1 , 2 , 2 , 3 )   ( 2 , 10 , 11 , 15 )   ( 4 , 13 , 16 , 21 )   ( 2 , 10 , 25 , 27 )
( 2 , 3 , 6 , 7 )   ( 1 , 12 , 12 , 17 )   ( 8 , 11 , 16 , 21 )   ( 2 , 14 , 23 , 27 )
( 1 , 4 , 8 , 9 )   ( 8 , 9 , 12 , 17 )   ( 3 , 6 , 22 , 23 )   ( 7 , 14 , 22 , 27 )
( 4 , 4 , 7 , 9 )   ( 1 , 6 , 18 , 19 )   ( 3 , 14 , 18 , 23 )   ( 10 , 10 , 23 , 27 )
( 2 , 6 , 9 , 11 )   ( 6 , 6 , 17 , 19 )   ( 6 , 13 , 18 , 23 )   ( 3 , 16 , 24 , 29 )
( 6 , 6 , 7 , 11 )   ( 6 , 10 , 15 , 19 )   ( 9 , 12 , 20 , 25 )   ( 11 , 12 , 24 , 29 )
( 3 , 4 , 12 , 13 )   ( 4 , 5 , 20 , 21 )   ( 12 , 15 , 16 , 25 )   ( 12 , 16 , 21 , 29 )
( 2 , 5 , 14 , 15 )   ( 4 , 8 , 19 , 21 )   ( 2 , 7 , 26 , 27 )

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Enlaces externos

Plantilla:Gutenberg

Plantilla:Control de autoridades

  1. ↑ 1,0 1,1 R. Spira, The diophantine equation Plantilla:Math, Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365.
  2. ↑ R.A. Beauregard and E. R. Suryanarayan, Pythagorean boxes, Math. Magazine 74 (2001), 222–227.
  3. ↑ R.D. Carmichael, Diophantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.
  4. ↑ L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.
  5. ↑ Sierpiński, Wacław, Pythagorean Triangles, Dover, 2003 (orig. 1962), p.102–103.
  6. ↑ MacHale, Des, and van den Bosch, Christian, "Generalising a result about Pythagorean triples", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 91-96.
  7. ↑ J. Cremona, Letter to the Editor, Amer. Math. Monthly 94 (1987), 757–758.
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