Cuchilla (vector)
En el estudio del álgebra geométrica, una Plantilla:Math-cuchilla (nombre original en inglés, "k-blade"), o también un Plantilla:Math-vector simple, es una generalización del concepto de escalares y vectores para poder incluir bivectores simples, trivectores simples o cualquier tipo de multivectores simples. Específicamente, una Plantilla:Math-cuchilla es un [[Multivector|Plantilla:Math-vector]] que puede expresarse como producto exterior (informalmente, producto de cuña) de 1-vectores, y es de grado Plantilla:Math.
Propiedades
En detalle:[1]
- Una 0-cuchilla es un escalar.
- Una 1-cuchilla es un vector. Cada vector es simple.
- Una 2-cuchilla es un bivector simple. Las sumas de 2-cuchillas también son bivectores, pero no siempre simples. Una 2-cuchilla se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores Plantilla:Math y Plantilla:Math:
- Una 3-cuchilla es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto de cuña de tres vectores Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math:
- En un espacio vectorial de dimensión Plantilla:Math, una cuchilla de grado Plantilla:Math se llama pseudovector[2] o antivector.[3]
- El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar, y en un espacio de dimensión Plantilla:Math es una Plantilla:Math-cuchilla.[4]
- En un espacio vectorial de dimensión Plantilla:Math, hay Plantilla:Math grados de libertad para elegir una Plantilla:Math-cuchilla para Plantilla:Math, de las que una dimensión es un multiplicador de escala general.[5]
Un subespacio vectorial de dimensión finita Plantilla:Math puede representarse mediante la Plantilla:Math-cuchilla formada como un producto de cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio.[6] De hecho, una Plantilla:Math-cuchilla es naturalmente equivalente a un subespacio Plantilla:Math dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alterna Plantilla:Math) normalizada para tomar un valor unitario en la Plantilla:Math-cuchilla.
Ejemplos
En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-cuchillas, los vectores son 1-cuchillas y los elementos con área son 2-cuchillas, en este contexto conocidos como pseudoescalares, ya que son elementos de un espacio unidimensional distinto de los escalares regulares.
En el espacio tridimensional, las 0-cuchillas son nuevamente escalares y las 1-cuchillas son vectores tridimensionales, mientras que las 2-cuchillas son elementos de área orientada. En este caso, las 3-cuchillas se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las 3-cuchillas se transforman según el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas.
Véase también
Notas
Referencias
- Plantilla:Cite book
- Plantilla:Cite book
- A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando geometría Informe técnico de álgebra . Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
- Plantilla:Cite book
Enlaces externos
- A Geometric Algebra Primer, especialmente para informáticos.
Plantilla:Control de autoridades
- ↑ Plantilla:Cite book
- ↑ Plantilla:Cite book
- ↑ Plantilla:Cite book
- ↑ Plantilla:Cite book
- ↑ For Grassmannians (including the result about dimension) a good book is: Plantilla:Citation. The proof of the dimensionality is actually straightforward. Take Plantilla:Math vectors and wedge them together and perform elementary column operations on these (factoring the pivots out) until the top Plantilla:Math block are elementary basis vectors of . The wedge product is then parametrized by the product of the pivots and the lower Plantilla:Math block. Compare also with the dimension of a Grasmaniano, Plantilla:Math, in which the scalar multiplier is eliminated.
- ↑ Plantilla:Cite book