Curva cruciforme

Curva cruciforme con parámetros (b,a) con valores (1,1) en rojo; (2,2) en verde; (3,3) en azul.

La curva cruciforme es una curva plana cuártica definida por el ecuación

$x^2{y}^2-b^2{x}^2-a^2{y}^2=0$

donde a y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva.

La curva cruciforme está relacionada por una transformación cuadrática estándar, x ↦; 1/x, y ↦; 1/y con la elipse a²x² + b²y² = 1, y por eso es una curva algebraica plana racional del género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real, en x=0 y y=0, x=0 y z=0, y y=0 y z=0.

Como que la curva es racional, puede ser parametrizada por funciones racionales. Por ejemplo, si a=1 y b=2, entonces

$x=-\frac{t^2-2t+5}{t^2-2t-3},y=\frac{t^2-2t+5}{2t-2}$

parametriza los puntos en la curva fuera de los casos excepcionales donde el denominador es cero.