D'Alembertiano

El operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria. Se suele representar como ${◻}^2$, o simplemente como $◻$. Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.

Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de ${ℝ}^3$, el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como: Plantilla:Ecuación

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda electromagnética.

En el espacio de Minkowski

La métrica es la métrica plana $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }=\text{diag}(-1,1,1,1)$, y por tanto el D'Alambertiano es Plantilla:Ecuación

En un espacio curvo

Se puede hacer que el operador D'Alembertiano sea también invariante frente a una transformación general de coordenadas si se define en relación con la derivada covariante: Plantilla:Ecuación

Ejemplos

Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon, que describe campos escalares de spin cero: Plantilla:Ecuación

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld