Demostración de que 22/7 es mayor que π

Representación cuasi-perfecta de un círculo cuya longitud está dividida en 22 partes iguales y cuyo diámetro lo está en 7 partes iguales. Un círculo que cumpla tales condiciones no existe dado que 22/7 es mayor que π.

Las demostraciones matemáticas que indican el famoso resultado de que el número racional Plantilla:Fracción es superior a [[Número π|Plantilla:Math]] se remontan a la Antigüedad. Una de estas demostraciones, desarrollada más recientemente pero que requiere solo técnicas elementales del cálculo, ha llamado la atención en las matemáticas modernas debido a su belleza matemática y sus conexiones con la teoría de las aproximaciones diofánticas. Stephen Lucas califica esta proposición de "uno de los resultados más hermosos relacionados con la aproximación de π ".

El objetivo de esta demostración no es en esencia convencer al lector de que Plantilla:Fracción es, efectivamente, más grande qué π. Existen métodos de cálculo sistemático que obtienen el valor de Plantilla:Math. Lo que sigue es una demostración matemática moderna que demuestra que Plantilla:Nowrap, utilizando solamente las técnicas elementales del cálculo. Su sencillez y su elegancia resaltan vínculos con la teoría de las aproximaciones diofánticas.

Antecedentes

Plantilla:Fracción es una aproximación diofántica ampliamente utilizada de Plantilla:Math. En efecto, se puede ver fácilmente, al expandir decimalmente qué :

$\begin{array}{cc}\frac{22}{7}& =3,\overline{142857},\\ \pi & =3,14159265\dots \end{array}$

Esta aproximación era conocida desde la antigüedad. Arquímedes fue el primero que escribió que había demostrado que Plantilla:Fracción sobrepasaba a Plantilla:Math durante el Plantilla:Siglo .. pero utilizaba esta aproximación.

Su prueba consistía en demostrar que Plantilla:Fracción es mayor que la razón entre el perímetro de un polígono regular con 96 lados y el diámetro del círculo que lo circunscribe.

Una mejor aproximación racional de Plantilla:Math es dado por la fracción Plantilla:Fracción.

Demostración

Una demostración moderna de esta desigualdad puede hacerse por el cálculo de la integral.

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{22}{7}-\pi .$

Por lo tanto, Plantilla:Fracción > [[Número π|Plantilla:Math]].

El número $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x$ es estrictamente positivo porque la función $x\mapsto \frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}$ es continua y estrictamente positiva sobre el intervalo Plantilla:Math.

Queda por demostrar que la integral se evalúa para valor la cantidad deseada:

$\begin{array}{cc}0& <\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}dx& \text{expansión de los términos del numerador}\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2})dx& \text{ utilizar división de polinomios largos}& \\ & ={(\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan x)|}_0^1& \text{integración definida}\\ & =\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi & \text{con }\arctan (1)=\frac{\pi }{4}\text{ y }\arctan (0)=0\\ & =\frac{22}{7}-\pi .& \text{adición}\end{array}$

Dalzell da un resultado más preciso al limitar la diferencia con el estudio del denominador. Así, tenemos

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{2}\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1}\mathrm{d}x.$

Luego, al calcular:

$\frac{1}{1260}<\frac{22}{7}-\pi <\frac{1}{630}.$

Véase también

• División polinomial
• Demostración de la irracionalidad de π
• Teorema de Lindemann–Weierstrass