Representación decimal

Plantilla:Otros usos En matemáticas, la representación decimal es una manera de escribir números reales positivos, por medio de potencias del número 10 (negativas y/o positivas). En el caso de los números naturales, la representación decimal corresponde a la escritura en base 10 usual; para los números racionales, se obtiene una representación decimal limitada, o ilimitada periódica si son números periódicos; si son irracionales, la representación decimal es ilimitada y no periódica.

Definición matemática

La representación decimal de un número real no negativo r, es una expresión matemática escrita tradicionalmente como una serie del tipo

$r=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_i}{10^i}$

en donde a₀ es un entero no negativo, y a₁, a₂, … son enteros tales que 0 ≤ a_i ≤ 9 (son los llamados «dígitos» de la representación decimal). Si la secuencia de dígitos es finita, los a_i restantes se asumen como 0. Si no se consideran secuencias infinitas de 9's, la representación es única.

El número definido por una representación decimal también admite la siguiente escritura:

$r=a_0,a_1{a}_2{a}_3\dots .$

En tal caso, a₀ es la parte entera de r, no necesariamente entre 0 y 9, y a₁, a₂, a₃, … son los dígitos que forman la parte fraccionaria de r.

Ambas notaciones son, por definición, el límite de la sucesión:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}$.

Aproximación a números reales

Todo número real puede ser aproximado al grado de precisión deseado, por medio de números racionales que poseen representaciones decimales finitas. En efecto, sea $x\ge 0$; para cada número natural $n\ge 1$ hay un número decimal exacto $r_n=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n$ tal que

$r_n\le x<r_n+\frac{1}{10^n}.$

Caso de los números enteros

Todo número entero posee una escritura natural en el sistema de numeración decimal. Para obtener su representación decimal es suficiente con escribir 10⁰ como denominador.

Caso de los números decimales

Un número decimal (finito) es un número que se puede escribir de la forma $\frac{N}{10^n}$ con N y n números enteros. Un número decimal posee entonces una representación decimal limitada compuesta por potencias negativas de 10. Recíprocamente: todo número que posee una representación decimal limitada, es un número decimal.

Caso de los números racionales

La expansión decimal de un número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si y solo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2ⁿ5^m, donde m y n son enteros no negativos.

Véase también

• Sistema de numeración decimal | Notación posicional
• Número decimal
• Número periódico
• 0,9 periódico
• IEEE 754
• Simon Stevin | Fracción decimal

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro