Desigualdad de Boole

En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,

Demostración

Familia finita

Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita $(A_1,\dots ,A_m)$ de sucesos.

Se trata de probar que $\mathbb{P}(A_1\cup \cdots \cup A_m)\le \mathbb{P}(A_1)+\cdots +\mathbb{P}(A_m)$.

La desigualdad es cierta para $m=1$. Supuesta cierta para un $m$ dado, se considera una familia $(A_1,\dots ,A_{m+1})$ de $m+1$ sucesos.

Sea $E=A_1\cup \cdots \cup A_m$ : $\mathbb{P}(E)\le \mathbb{P}(A_1)+\cdots +\mathbb{P}(A_m)$ (hipótesis de inducción).

Entonces: $\mathbb{P}(A_1\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb{P}(E\cup A_{m+1})=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(A_{m+1})-\mathbb{P}(E\cap A_{m+1})$,

de donde: $\mathbb{P}(A_1\cup \cdots \cup A_{m+1})\le \mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(A_{m+1})\le \mathbb{P}(A_1)+\cdots +\mathbb{P}(A_m)+\mathbb{P}(A_{m+1})$.

Familia numerable

Ahora se trata el caso de una familia numerable $(A_n{)}_{n\ge 1}$ de sucesos.

Para todo número natural $n$ (distinto de cero), sea $E_n=A_1\cup \cdots \cup A_n$; entonces $\mathbb{P}(E_n)\le \sum _{k=1}^n\mathbb{P}(A_k)$.

La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre $n$; en efecto $\bigcup _{n\ge 1}{E}_n=\bigcup _{n\ge 1}{A}_n$ y para todo $n$, $E_n\subset E_{n+1}$, entonces $\lim \mathbb{P}(E_n)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{n\ge 1}{A}_n\right)$.

Otro método

Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea $A{\text{'}}_1=A_1$ y para todo $n\ge 2$, $A{\text{'}}_n=A_n\setminus (A_1\cup \cdots \cup A_{n-1})$.

Entonces $\bigcup _n{A}_n=\bigcup _{n}A{\text{'}}_n$, y los sucesos $A{\text{'}}_1,A{\text{'}}_2,\dots$ son incompatibles dos a dos;
por otra parte, para todo $n,A{\text{'}}_n\subset A_n$, entonces $\mathbb{P}(A{\text{'}}_n)\le \mathbb{P}(A_n)$ ($\mathbb{P}$ es creciente).

De todo esto, se deduce que $\mathbb{P}\left(\bigcup _n{A}_n\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{n}A{\text{'}}_n\right)=\sum _n\mathbb{P}(A{\text{'}}_n)\le \sum _n\mathbb{P}(A_n)$.

Teoría de la medida

En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.

Desigualdades de Bonferroni

Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos.

Sean:

$S_1:=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i),$

$S_2:=\sum _{i<j}\mathbb{P}(A_i\cap A_j),$

y para 2 < k ≤ n,

$S_k:=\sum \mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}),$

donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n.

Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ k ≤ n

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j+1}{S}_j,$

y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ k ≤ n

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\ge \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j+1}{S}_j.$

La desigualdad de Boole se da para k = 1.

Véase también

• Axiomas de probabilidad
• Principio de inclusión-exclusión
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole