Desigualdad de Hardy

La desigualdad de Hardy es una desigualdad matemática llamada así debido a G.H. Hardy. Esta desigualdad afirma que si $a_1,a_2,a_3,\dots$ es una sucesión de números reales no negativos que no es idénticamente nula, entonces para cualquier número real p > 1 se tiene

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p.$

Una versión integral de la desigualdad de Hardy afirma que si f es una función integrable a valores no-negativos, entonces

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx$

con igualdad si y solo si f(x) = 0 casi en todas partes.

Historia

La desigualdad de Hardy fue publicada y demostrada por primera vez (al menos en su versión discreta e involucrando una constante no-optimal) en 1920 en una nota de Hardy.

Bibliografía

• Plantilla:Obra citada