Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

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Archivo:AM GM inequality visual proof.svg
Demostración visual de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.

Media aritmética y media geométrica

La media aritmética de un conjunto de números reales x1,x2,…,xn es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

x1+x2+⋯+xnn.

La media geométrica de un conjunto de reales no negativos x1,x2,…,xn∈ℝ+, es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:

x1x2⋯xnn.

La desigualdad

Sea x1,x2,…,xn∈ℝ+ entonces

x1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn.

La igualdad se cumple si y sólo si x1=x2=⋯=xn.

Demostración por inducción

Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).

Sea x1,x2,…,xn∈ℝ+ un conjunto de n elementos.

Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:

(x1−x2)2≥0

x12−2x1x2+x22≥0

x12+2x1x2+x22≥4x1x2

(x1+x2)2≥4x1x2

(x1+x2)24≥x1x2

x1+x22≥x1x22

Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.

x1+x2+⋯+x2n2n≥x1x2⋯x2n2n

(x1+x2+⋯+xn)n+(xn+1+xn+2+⋯+x2n)n2≥(x1+x2+⋯+xn)n(xn+1+xn+2+⋯+x2n)n2

Siguiendo la hipótesis,

x1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn

Se sigue que,

(x1+x2+⋯+xn)n+(xn+1+xn+2+⋯+x2n)n2≥(x1x2⋯xn)n(xn+1xn+2⋯x2n)n2

Siendo esto igual a,

x1+x2+⋯+x2n2n≥x1x2⋯x2n2n

Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.

Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,

Sean x1,x2,…,xn−1∈ℝ+ y xn=x1+x2+⋯+xn−1n−1

Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,

x1+x2+⋯+xn−1+x1+x2⋯+xn−1n−1n≥x1x2⋯xn−1x1+x2⋯+xn−1n−1n

(n−1)x1+(n−1)x2+⋯+(n−1)xn−1+x1+x2⋯+xn−1(n−1)n≥x1x2⋯xn−1nx1+x2⋯+xn−1n−1n

nx1+nx2+⋯+nxn−1(n−1)n≥x1x2⋯xn−1nx1+x2⋯+xn−1n−1n

x1+x2+⋯+xn−1n−1≥x1x2⋯xn−1nx1+x2⋯+xn−1n−1n

(x1+x2+⋯+xn−1n−1)n−1n≥(x1x2⋯xn−1)1n

(x1+x2+⋯+xn−1n−1)n−11≥(x1x2⋯xn−1)

Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,

(x1+x2+⋯+xn−1n−1)≥(x1x2⋯xn−1)1n−1

Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.

x1+x2⋯+xnn≥x1x2⋯xnn,∀n∈ℕ Q.E.D.

Véase también

Referencias

  • Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0

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