Diferencial (matemática)

Este artículo habla sobre la definición del diferencial dentro del campo de la geometría diferencial, para otros usos dentro de la matemática vea diferencial (cálculo, desambiguación), para usos más generales vea diferencial (desambiguación)

Herramienta matemática que nos permite trabajar sobre espacios tangentes de diferentes variedades diferenciables aprovechado las buenas propiedades de unos bien conocidos sobre otros que casi no conocemos.

Eslabón necesario para construir la teoría de geometría diferencial y generalizar su estudio.

Definición de diferencial

Sean $M_{}^{},N$ variedades diferenciables, $F:M⟶N$ una aplicación diferenciable y $p\in M$, llamaremos diferencial de $F_{}^{}$ a

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\forall }{d}_{p}F:& {𝒯}_{p}M& ⟶& {𝒯}_{F(p)}N\\ & \delta & \mapsto & \begin{array}{cccc}{d}_{p}F(\delta ):& ℱ(M)& ⟶& ℝ\\ & g& \mapsto & d_{p}F(\delta )(g):=\delta (g\circ F).\end{array}\end{array}$.

Observaciones

Queda claro que ${\delta }_{}^{}$ es ${\delta }_p^{}$, ya que $p_{}^{}$ es redundante pues hablamos de elementos de ${𝒯}_{p}M$ y, es decir, derivaciones a $M_{}^{}$ precisamente en $p_{}^{}$.

Veamos que está bien definida, es decir, que $d_{p}F(\delta )\in {𝒯}_{F(p)}N$ como se ha requerido:

$\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(N),\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$,

• $d_p^{}F(\delta )(f+g)=\delta ((f+g)\circ F)=\delta (f\circ F+g\circ F)=\delta (f\circ F)+\delta (g\circ F)=d_{p}F(\delta )(f)+d_{p}F(\delta )(g),$

• $d_p^{}F(\delta )(\lambda f)=\delta ((\lambda f)\circ F)=\delta (\lambda (f\circ F))=\lambda \delta (f\circ F)=\lambda d_{p}F(\delta )(f),$

$d_p^{}F(\delta )(f\cdot g)=\delta ((f\cdot g)\circ F)=\delta ((f\circ F)\cdot (g\circ F))=\delta (f\circ F)(g\circ F)(p)+(f\circ F)(p)\delta (g\circ F)=d_{p}F(\delta )(f)g_{|F(p)}+f_{|F(p)}{d}_{p}F(\delta )(g)$,

y, por tanto, es una derivación; en resumen, el diferencial de una derivación es una derivación.

Veamos finalmente que $d_p^{}F$ es $ℝ$-lineal:

$\mathrm{\forall }{\delta }_1,{\delta }_2\in {𝒯}_{p}M,\mathrm{\forall }f\in ℱ(N)y\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$, tenemos

• $d_p^{}F({\delta }_1+{\delta }_2)(f)=({\delta }_1+{\delta }_2)(f\circ F)={\delta }_1(f\circ F)+{\delta }_2(f\circ F)=d_{p}F({\delta }_1)(f)+d_{p}F({\delta }_2)(f)$,

• $d_p^{}F(\lambda {\delta }_1)(f)=(\lambda {\delta }_1)(f\circ F)=\lambda {\delta }_1(f\circ F)=\lambda d_{p}F({\delta }_1)(f)$,

y por tanto, al ser lineal y bien definida, hereda correctamente las propiedades de suma vectorial y producto por escalar para que los elemento obtenidos en ${𝒯}_{F(p)}N$, a partir de los elementos de ${𝒯}_{p}M$, puedan formar un subespacio vectorial, sería deseable conseguir una base para generar totalmente ${𝒯}_{F(p)}N$.

Así pues, tenemos que $d_p^{}F$, como aplicación lineal entre espacios vectoriales, queda totalmente determinada por una matriz.

Propiedad

Sean $M,N,P_{}^{}$ variedades diferenciables, $F:M\to N$, $G:N\to P$ y $p\in M$, entonces tenemos que:

$d_p(G\circ F)=d_{F(p)}G\circ d_{p}F$.

Demostración

$\mathrm{\forall }h\in ℱ(P),$ $\mathrm{\forall }\delta \in {𝒯}_{p}M$, sucesivamente por definición:

$d_p(G\circ F)(\delta )(h)=\delta (h\circ G\circ F)=$$d_{p}F(\delta )(h\circ G)=$$d_{F(p)}G(d_{p}F(\delta ))(h)=$$d_{F(p)}G\circ d_{p}F(\delta )(h)$.

Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $I{d}_M:M\to M$ y $p\in M$, entonces tenemos que:

$d_p(I{d}_M)=I{d}_{{𝒯}_{p}M}$.

Demostración

$\mathrm{\forall }h\in ℱ(P),\mathrm{\forall }\delta \in {𝒯}_{p}M$,

$d_p(I{d}_M)(\delta )(h)=\delta (h\circ I{d}_M)=$$\delta (h)$.

Propiedad

Sea $M,N_{}^{}$ variedades diferenciables y $F:M\to N$ un difeomorfismo, entonces tenemos que:

$\mathrm{\forall }p\in M,d_{p}F$ es un isomorfismo de $ℝ$-espacios vectoriales.

Demostración

Si $F_{}^{}$ es un difeomorfismo entonces tenemos que $\mathrm{\exists }G:N\to M$ diferenciable: $F\circ G=I{d}_N$ y $G\circ F=I{d}_M$.

Bastaría considerar los diferenciales $d_q{G}_{}^{}$ y $d_p{F}^{},q=F(p)$, usando sucesivamente las propiedades anteriores tenemos:

$d_{q}G\circ d_{p}F=d_p(G\circ F)=$$d_p(I{d}_M^{})=$$I{d}_{{𝒯}_{p}M}$,

$d_{p}F\circ d_{q}G=d_q(F\circ G)=$$d_q(I{d}_N^{})=$$I{d}_{{𝒯}_{q}N}$.

Por tanto hemos visto que $d_p{F}_{}^{}$ es un isomorfismo de $ℝ$-espacios vectoriales.