Distribución de Breit-Wigner relativista

Gráfica de una sección eficaz que sigue la distribución de Breit-Wigner relativista.

La distribución relativista de Breit-Wigner es una distribución de probabilidad continua usual en la física de partículas. Fue usada por primera vez en 1936 por Gregory Breit y Eugene Wigner para describir una resonancia. La función de densidad de probabilidad es

$f(E)=\frac{k}{{(E^2-M^2)}^2+M^2{\mathrm{\Gamma }}^2},$

donde Plantilla:Mvar es una constante de proporcionalidad igual a

$k=\frac{2\sqrt{2}M\mathrm{\Gamma }\gamma }{\pi \sqrt{M^2+\gamma }}$   con   $\gamma =\sqrt{M^2(M^2+{\mathrm{\Gamma }}^2)}.$

(Estas ecuaciones emplean unidades naturales en las que Plantilla:Nowrap). La versión no relativista de la distribución de Breit-Wigner es la distribución de Cauchy.

Significado físico

El principal uso de la distribución de Breit-Wigner es modelar resonancias (partículas inestables) en física de altas energías. En este caso, Plantilla:Mvar es la energía en el sistema de referencia del centro de masas que produce la resonancia, Plantilla:Mvar es la masa de la resonancia, y Plantilla:Mvar es la anchura de la resonancia (o anchura de desintegración), relacionada con su vida media según Plantilla:Nowrap. La probabilidad de producir una resonancia a una energía Plantilla:Mvar es proporcional a Plantilla:Math, de modo que un gráfico de la tasa de producción de la partícula inestable como función de la energía describe una distribución de Breit-Wigner relativista. Para valores de Plantilla:Mvar que distan del máximo en Plantilla:Mvar de modo que Plantilla:Math, (y por tanto Plantilla:Math para Plantilla:Math), la distribución Plantilla:Mvar se atenúa hasta la mitad de su valor máximo, por lo que Plantilla:Mvar es la anchura a media altura.

En el límite de anchura nula Plantilla:Mvar→0, la partícula se vuelve estable y la distribución Plantilla:Mvar tiende a Plantilla:Math.

En general, Plantilla:Mvar puede ser también una función de Plantilla:Mvar; esta dependencia normalmente solo es importante si Plantilla:Mvar no es pequeña en comparación con Plantilla:Mvar y la dependencia en el espacio de fases de la anchura debe ser considerada (por ejemplo, en la desintegración de un mesón rho en un par de piones). El factor Plantilla:Mvar ² que multiplica a Plantilla:Mvar² se debe sustituir por Plantilla:Mvar ² (o Plantilla:Mvar ⁴/Plantilla:Mvar², etc.) cuando la resonancia es ancha.

La forma de la distribución de Breit-Wigner relativista proviene del propagador de una partícula inestable, que tiene en el denominador la forma Plantilla:Math. (donde Plantilla:Mvar² es el cuadrado del cuadrimomento que lleva la partícula en el diagrama de Feynman de nivel árbol correspondiente). El propagador en el sistema de referencia en reposo es proporcional a la amplitud de probabilidad para la desintegración utilizada para reconstruir la resonancia,

$\frac{\sqrt{k}}{(E^2-M^2)+iM\mathrm{\Gamma }}.$

La distribución de probabilidad resultante es proporcional al valor absoluto al cuadrado de la amplitud, y por lo tanto resulta en la distribución de Breit-Wigner relativista.

La forma de la distribución es similar a la solución de la ecuación de movimiento clásica para el movimiento de un oscilador armónico forzado. Tiene la forma de una curva de resonancia o de distribución de Cauchy, pero incluye la variable de Mandelstam relativista $s=p^2$, aquí $s=E^2$.

La distribución es la solución a una ecuación diferencial análoga a la de la potencia media de un oscilador clásico forzado,

$\left\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(\text{E})({({\text{E}}^2-M^2)}^2+{\mathrm{\Gamma }}^2{M}^2)-4\text{E}f(\text{E})(M-\text{E})(\text{E}+M)=0\\ f(M)=\frac{k}{{\mathrm{\Gamma }}^2{M}^2}\end{array}\right\}$.