Distribución hipergeométrica

Plantilla:Ficha de distribución de probabilidad En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de $N$ elementos de los cuales, $K$ pertenecen a la categoría $A$ y $N-K$ pertenecen a la categoría $B$. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener $x$ ($0\le x\le K$) elementos de la categoría $A$ en una muestra sin reemplazo de $n$ elementos de la población original.

Definición

Función de probabilidad

Una variable aleatoria discreta $X$ tiene una distribución hipergeométrica con parámetros $N=0,1,\dots$, $K=0,1,\dots ,N$ y $n=0,1,\dots ,N$ y escribimos $X\sim \mathrm{HG}(N,K,n)$ si su función de probabilidad es

$\mathrm{P}[X=x]=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{x})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-x})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})},$

para valores de $x$ comprendidos entre $\max \{0,n-N+K\}$ y $\min \{K,n\}$; donde $N$ es el tamaño de población, $n$ es el tamaño de la muestra extraída, $K$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y $x$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.

La notación

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a})=\frac{b!}{a!(b-a)!}$

hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar $a$ elementos de un total $b$.

Fórmula recursiva

Si $X\sim \mathrm{HG}(N,K,n)$ entonces puede demostrarse que

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}[X=x+1]& =\frac{(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}\mathrm{P}[X=x]\end{array}$

Propiedades

Si $X\sim \mathrm{HG}(N,K,n)$ entonces $X$ cumple algunas propiedades:

El valor esperado de la variable aleatoria $X$ es

$\mathrm{E}[X]=\frac{nK}{N}$

y su varianza está dada por

$\mathrm{Var}[X]=\frac{nK}{N}\left(\frac{N-K}{N}\right)\left(\frac{N-n}{N-1}\right)$

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

Distribuciones relacionadas

• Si una variable aleatoria $X\sim \mathrm{HG}(N,K,1)$ entonces $X\sim \mathrm{Bernoulli}\left(\frac{K}{N}\right)$.
• Si $X\sim \mathrm{HG}(N,K,n)$ entonces $X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$ cuando $N\to \mathrm{\infty }$ y $K\to \mathrm{\infty }$ de forma tal que $K/N\to p$.

Véase también

• Distribución uniforme discreta
• Distribución de Bernoulli
• Distribución binomial
• Distribución geométrica
• Distribución binomial negativa
• Distribución de Poisson

Enlaces externos

• Plantilla:Enlace roto Cálculo de la probabilidad de una distribución hipergeométrica con R (lenguaje de programación)