Divergencia de Kullback-Leibler

Ilustración de la entropía relativa para dos distribuciones normales. La típica asimetría es claramente visible.

En teoría de la probabilidad y teoría de la información, la divergencia de Kullback-Leibler (KL) (también conocida como divergencia de la información, ganancia de la información, entropía relativa o KLIC por sus siglas en inglés) es una medida no simétrica de la similitud o diferencia entre dos funciones de distribución de probabilidad P y Q. KL mide el número esperado de extra bits requeridos en muestras de código de P cuando se usa un código basado en Q, en lugar de un código basado en P. Generalmente P representa la "verdadera" distribución de los datos, observaciones, o cualquier distribución teórica. La medida Q generalmente representa una teoría, modelo, descripción o aproximación de P.

Aunque a menudo se considera como una métrica o distancia, la divergencia KL no lo es en realidad — por ejemplo, no es simétrica: la divergencia KL de P a Q no necesariamente es la misma KL de Q a P.

La divergencia KL es un caso especial de una clase más amplia de divergencias llamadas divergencias f. Fue originalmente introducida por Solomon Kullback y Richard Leibler en 1951 como la divergencia direccionada entre dos distribuciones. KL se puede derivar de la divergencia de Bregman.

Definición

Para distribuciones de probabilidad P y Q de una variable aleatoria discreta su divergencia KL se define como

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\Vert Q)=\sum _{i}P(i)\ln \frac{P(i)}{Q(i)}.$

En palabras, es el promedio ponderado de la diferencia logarítmica entre las probabilidades P y Q, donde el promedio se toma usando las probabilidades P. La divergencia KL solamente se define si P y Q suman 1 y si $Q(i)>0$ para cualquier i tal que $P(i)>0$. Si la cantidad $0\ln 0$ aparece en la fórmula, se interpreta como cero.

Para distribuciones P y Q de una variable aleatoria continua, la divergencia KL se define como la integral:

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\Vert Q)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)\ln \frac{p(x)}{q(x)}\mathrm{d}x,$

donde p y q representan las densidades de P y Q.

Más generalmente, si P y Q son medidas de probabilidad sobre un conjunto X, y Q es absolutamente continua con respecto a P, entonces la divergencia Kullback–Leibler de P a Q se define como

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\Vert Q)=-\underset{X}{\int }\ln \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\mathrm{d}P,$

donde $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}$ es la derivada de Radon-Nikodym de Q con respecto a P, y dado que la expresión al lado derecho existe.

De la misma manera, si P es absolutamente continua con respecto a Q, entonces

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\Vert Q)=\underset{X}{\int }\ln \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}\mathrm{d}P=\underset{X}{\int }\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}\ln \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}\mathrm{d}Q,$

lo cual se conoce como la entropía de P relativa a Q.

Continuando en este caso, si $\mu$ es cualquier medida en X para la cual $p=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mu }$ y $q=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}\mu }$ existe, entonces la divergencia Kullback–Leibler de P a Q está dada por

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\Vert Q)=\underset{X}{\int }p\ln \frac{p}{q}\mathrm{d}\mu .$

Los logaritmos en estas fórmulas se toman como en base 2 si la información se mide en unidades de bits, o en base e si la información se mide en nats. La mayoría de fórmulas relacionadas con la divergencia KL se mantienen independiente de la base logarítmica.

Nos referiremos a la divergencia de P a Q, aunque algunos autores la llaman la divergencia "de Q a P" y otros la divergencia "entre P y Q" (aunque note que no es simétrica). Se debe tener cuidado debido a la falta de estandarización en la terminología.

Propiedades

• Es siempre positiva (puede probarse usando la desigualdad de Jensen).
• Es nula si y sólo si P = Q.
• No es simétrica (por lo que no se trata de una distancia).

Aplicaciones

Estadística

En estadística, la divergencia de Kullback-Leibler está íntimamente relacionada con el método de ajuste de distribuciones por máxima verosimilitud. En efecto, si se tienen observaciones $x_1,...,x_n$ independientes de una variable aleatoria con función de densidad desconocida f y se tratan de ajustar dentro de una familia de funciones de densidad $f_{\lambda }$, de acuerdo con la teoría de la máxima verosimilitud, se busca el parámetro $\lambda$ que maximiza la función

$L_{\lambda }=\sum _i\log f_{\lambda }(x_i),$

que puede aproximarse (cuando n es grande) por

$\int f(x)\log f_{\lambda }(x).$

Restando dicha expresión del término constante

$\int f(x)\log f(x)$

se obtiene

$\int f(x)\log f(x)-\int f(x)\log f_{\lambda }(x)=\int f(x)\log \frac{f(x)}{f_{\lambda }(x)},$

que es la divergencia de Kullback-Leibler entre $f_{\lambda }$ y la distribución verdadera determinada por f. Es decir, maximizar la función de verosimilitud es (aproximadamente) equivalente a encontrar el parámetro $\lambda$ que minimiza la divergencia de Kullback-Leibler entre la distribución real y la familia de distribuciones parametrizadas por dicho parámetro.

Enlaces externos

• Matlab code for calculating KL divergence Plantilla:Wayback
• Sergio Verdú, Relative Entropy, NIPS 2009. One-hour video lecture.
• Jon Shlens' tutorial on Kullback-Leibler divergence and likelihood theory
• A modern summary of info-theoretic divergence measures