Divisor unitario

En matemática, un número natural a es un divisor unitario de un número b si a es un divisor de b y si a y $\frac{b}{a}$ son coprimos, no teniendo un factor común diferente de 1. Así, 5 es un divisor unitario de 60, puesto que 5 y $\frac{60}{5}=12$ tienen únicamente 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor, pero no un divisor unitario de 60, dado que 6 y $\frac{60}{6}=10$ tienen un factor común distinto de 1, que es 2. 1 es un divisor unitario de cualquier número natural.

Equivalentemente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si todo factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a como esta la tiene en b.

La función suma de divisores unitarios se denota mediante la letra minúscula griega sigma, así: σ*(n). La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ*_k(n):

${\sigma }_k^{*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{\mathrm{mcd}(d,n/d)=1}}{d}^k.$

Se denomina número perfecto unitario a la suma de todos los divisorios unitarios propios de un número natural compuesto.

Propiedades

El número de divisores unitarios de un número n es 2^k, donde k es el número de factores primos distintos de n. La suma de divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluyendo 1), y par de cualquier otra forma.

Ambas, cantidad y suma de divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}=\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_k^{*}(n)}{n^s}.$

Divisores unitarios impares

La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios impares es

${\sigma }_k^{(o)*}(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{d\equiv 1(\mathrm{mod}2)}}{\mathrm{mcd}(d,n/d)=1}}{d}^k.$

Esta también es multiplicativa, con una función generadora de Dirichlet

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}=\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_k^{(o)*}(n)}{n^s}.$

Divisores bi-unitarios

Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el máximo común divisor de d y n/d es 1. El número de divisores bi-unitarios de n es una función multiplicativa de n con orden medio $A\log x$, donde

$A=\prod _p\left(1-\frac{p-1}{p^2(p+1)}\right).$

Un número perfecto bi-unitario es aquel igual a la suma de sus divisores propios bi-unitarios. Los únicos números así son 6, 60 y 90.

Referencias y notas

• Plantilla:Cita libro Section B3.
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Enlaces externos

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Sucesiones OEIS

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