Doble radical

En matemática a las expresiones de la forma

$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$, se las denomina doble radical donde A y B son números racionales positivos.

Ejemplos

1. $\sqrt{2-\sqrt{2}}$
2. $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

El lado l de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio r, se calcula con la fórmula

$l=\frac{r}{2}\sqrt{10-\sqrt{20}}$

Transformación en radicales simples

En este caso se trata de expresar mediante la suma o diferencia de radicales simples

$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{s}\pm \sqrt{t}$

Planteando las ecuaciones adecuadas se obtiene

$s=\frac{A+C}{2}$ y $t=\frac{A-C}{2}$ donde $C^2=A^2-B$

De modo que $\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$

Ejemplo

Descomponer $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

A = 4, B = 7

: $C^2=4^2-7=9$; de donde C = 3.

$\sqrt{\frac{A+C}{2}}=\sqrt{\frac{4+3}{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}}$

$\sqrt{\frac{A-C}{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$

Condiciones

1. A y B racionales positivos
2. A² > B
3. A > C
4. A² - B, debe ser cuadrado perfecto. para obtener C.