Dodecaedro

Un dodecaedro (del griego δωδεκαεδρον dōdekáedron, de δώδεκα dōdeka, ‘doce’ y ἕδρα edra; ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina 'regular', siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecaédrico de Poincaré sería la forma del Universo y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.

Dodecaedro regular

Plantilla para armar un dodecaedro regular.

Cálculo de dimensiones fundamentales

• Radio externo: $r_u=\frac{\sqrt{6}}{4}\sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot a\approx 1.401258538\cdot a$
• Radio interno: $r_i=\frac{a}{4}\sqrt{\frac{50+22\sqrt{5}}{5}}\approx 1.113516364\cdot a$

En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2. Se conoce como característica de Euler, una propiedad topológica.

$C+V=A+2$

donde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de aristas

Área

Animación de uno de los desarrollos del Dodecaedro.

El área total de las caras de un dodecaedro regular , A (que es 12 veces el área de una de ellas, A_c) es igual a:

$A=12\cdot \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}\cdot a^2=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\cdot a^2\approx 20,65\cdot a^2$,

También se puede con esta fórmula basada en parte en la trigonometría:

$A=\frac{15l^2}{\tan 36^o}$

Volumen

Para un dodecaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen. V mediante la siguiente fórmula:

$V=\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})\cdot a^3\approx 7,66\cdot a^3$

Ángulos diedros

Los ángulos entre cada par de caras son:

$\alpha =180-\arccos (\tan 18\times \tan 54)=116,57^o$

Propiedades particulares

Simetría

Dado de un juego de rol (Dungeons & Dragons) en forma de dodecaedro.

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.

Aplicaciones y ejemplos

En los juegos de rol el dado de doce caras es un dodecaedro regular. Su notación escrita es «D12», Se usan dodecaedros de Rubik y Calendarios Dodecaedros También es la forma más usual para la construcción de las fuentes sonoras omnidireccionales usadas para realizar ensayos acústicos de aislamiento a ruido aéreo.

Véase también

• Dodecaedro romo
• Dodecaedro truncado
• Dodecaedro triaumentado
• Megaminx