Ecuación de Degasperis-Procesi

En física matemática, la ecuación de Degasperis-Procesi es una de las dos únicas ecuaciones con soluciones exactas en la siguiente familia de EDPs de tercer orden, no lineales y dispersivas:

u_{t} - u_{x x t} + 2 κ u_{x} + 4 u u_{x} = 3 u_{x} u_{x x} + u u_{x x x}

u_{t} - u_{x x t} + 2 κ u_{x} + (b + 1) u u_{x} = b u_{x} u_{x x} + u u_{x x x},

donde $κ$ y b son parámetros reales con b=3 para la ecuación de Degasperis-Procesi. Fue descubierto por Degasperis y Procesi en una búsqueda de ecuaciones integrables similares en forma a la ecuación de Camassa-Holm, que es la otra ecuación integrable en esta familia, la correspondiente a b=2; estas dos ecuaciones son los únicos casos integrables que se han verificado utilizando una variedad de pruebas de integrabilidad diferentes.^[1] Aunque se descubrió únicamente por sus propiedades matemáticas, la ecuación de Degasperis-Procesi con $κ > 0$ ha demostrado más tarde que desempeña un papel similar en la teoría de las ondas de agua que la ecuación de Camassa-Holm.^[2]

Soluciones de solitón

Entre las soluciones de la ecuación de Degasperis-Procesi (en el caso especial $κ = 0$ ) se encuentran las llamadas soluciones multipicos, que son funciones de la forma:

u (x, t) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} (t) e^{- | x - x_{i} (t) |}

donde las funciones $m_{i}$ and $x_{i}$ satisfacen a:^[3]

{\dot{x}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} m_{j} e^{- | x_{i} - x_{j} |}, {\dot{m}}_{i} = 2 m_{i} \sum_{j = 1}^{n} m_{j} sgn (x_{i} - x_{j}) e^{- | x_{i} - x_{j} |} .

Estas EDOs pueden ser resueltas explícitamente en términos de funciones elementales, usando métodos espectrales inversos.^[4]

Cuando $κ > 0$ las soluciones de solitón de la ecuación de Degasperis-Procesi son suaves, convergen a picos en el límite cuando $κ$ tiende a cero.^[5]

Soluciones discontinuas

La ecuación de Degasperis-Procesi, con $κ = 0$ , es formalmente equivalente a la ley de conservación hiperbólica.

\partial_{t} u + \partial_{x} [\frac{u^{2}}{2} + \frac{G}{2} * \frac{3 u^{2}}{2}] = 0,

donde

$G (x) = \exp (- | x |)$
La estrella denota convolución con respecto a x. En esta formulación, admite soluciones débiles con un grado muy bajo de regularidad, incluso discontinuas como las ondas de choque.^[6]

Por contraste, la formulación correspondiente de la ecuación de Camassa-Holm contiene una convolución que involucra a ambos $u^{2}$ y $u_{x}^{2}$ , lo que sólo tiene sentido si la u se encuentra en el espacio Sobolev. $H^{1} = W^{1, 2}$ con respecto a x. Por el teorema de Sobolev, esto significa en particular que las soluciones débiles de la ecuación de Camassa-Holm deben ser continuas con respecto a x.

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Bibliografía adicional

Plantilla:Control de autoridades

↑ Degasperis & Procesi 1999; Degasperis, Holm & Hone 2002; Mikhailov & Novikov 2002; Hone & Wang 2003; Ivanov 2005
↑ Johnson 2003; Dullin, Gottwald & Holm 2004; Constantin & Lannes 2007; Ivanov 2007
↑ Degasperis, Holm & Hone 2002
↑ Lundmark & Szmigielski 2003, 2005
↑ Matsuno 2005a, 2005b
↑ Coclite & Karlsen 2006, 2007; Lundmark 2007; Escher, Liu & Yin 2007

[1] Degasperis & Procesi 1999; Degasperis, Holm & Hone 2002; Mikhailov & Novikov 2002; Hone & Wang 2003; Ivanov 2005

[2] Johnson 2003; Dullin, Gottwald & Holm 2004; Constantin & Lannes 2007; Ivanov 2007

[3] Degasperis, Holm & Hone 2002

[4] Lundmark & Szmigielski 2003, 2005

[5] Matsuno 2005a, 2005b

[6] Coclite & Karlsen 2006, 2007; Lundmark 2007; Escher, Liu & Yin 2007

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Ecuación de Degasperis-Procesi

Sumario

Soluciones de solitón

Soluciones discontinuas

Referencias

Bibliografía

Bibliografía adicional

Menú de navegación

Ecuación de Degasperis-Procesi

Soluciones de solitón

Soluciones discontinuas

Referencias

Bibliografía

Bibliografía adicional

Menú de navegación

Buscar