Ecuación de Euler-Tricomi

En matemáticas, la ecuación de Euler-Tricomi es una ecuación en derivadas parciales lineal útil para el estudio del flujo transónico. Recibe el nombre de Leonhard Euler y de Francesco Giacomo Tricomi:

$u_{xx}+x{u}_{yy}=0.$

Es elíptica en el semiplano x > 0, parabólica en x = 0 e hiperbólica en el semiplano x < 0. Sus características son

$xd{x}^2+d{y}^2=0,$

cuya integral es:

$y\pm \frac{2}{3}{x}^{3/2}=C,$

donde C es una constante de integración. Por lo tanto, las características comprenden dos familias de parábolas semicúbicas, con cúspides en la línea x = 0, las curvas se encuentran en el lado derecho del eje y.

Soluciones particulares

Las soluciones particulares a las ecuaciones de Euler-Tricomi son del tipo:

• $u=Axy+Bx+Cy+D,$
• $u=A(3y^2+x^3)+B(y^3+x^{3}y)+C(6x{y}^2+x^4)+D(2x{y}^3+x^{4}y),$

donde A, B, C,D son constantes arbitrarias.

Una expresión general para estas soluciones es la siguiente:

• $u=\sum _{i=0}^k\frac{x^{m_i}\cdot y^{n_i}}{c_i}$

donde

• $p,q\in [0,1]$
• $m_i=3i+p$
• $n_i=2(k-i)+q$
• $c_i=m_i!!!\cdot (m_i-1)!!!\cdot n_i!!\cdot (n_i-1)!!$

La ecuación de Euler-Tricomi es una forma limitada de la ecuación de Chaplygin.

Véase también

• Ecuación de Burgers
• Ecuación de Chaplygin

Bibliografía

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, 2002.

Enlaces externos

• Tricomi and Generalized Tricomi Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.