Ecuación de Jacobi

La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial de la forma: Plantilla:Ecuación Con coeficientes reales. La ecuación de Jacobi tiene al menos una solución de la forma Plantilla:Ecuación Sea la matriz Plantilla:Ecuación Entonces, si el espectro de A (conjunto de autovalores de A) es Plantilla:Ecuación Y los autovalores son distintos dos a dos, definimos los coeficientes $k_i$ como las soluciones del sistema Plantilla:Ecuación Por lo tanto los coeficientes son $k_1={\lambda }_2-{\lambda }_3;k_2={\lambda }_3-{\lambda }_1;k_3={\lambda }_1-{\lambda }_2$

Sea ahora la función implícita

$f_i(x,y)={\alpha }_1^{i}x+{\alpha }_2^{i}y+{\alpha }_3^i$

La solución de la ecuación de Jacobi dada por el autovalor ${\lambda }_i$ tal que los coeficientes ${\alpha }_j^i$ quedan definidos por el sistema en forma matricial

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1-{\lambda }_i& a_2& a_3\\ b_1& b_2-{\lambda }_i& b_3\\ c_1& c_2& c_3-{\lambda }_i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^i\\ {\alpha }_2^i\\ {\alpha }_3^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Entonces la solución general de la ecuación de Jacobi viene dada por

$\sum _{i^{=}1}^3{f}_i(x,y{)}^{k_i}=\beta \mathrm{\forall }\beta \in ℝ$