Ecuación de Whitham

En la física matemática, la ecuación de Whitham es un modelo no local para las ondas dispersivas no lineales.

La ecuación se expresa como sigue:

$\frac{\partial \eta }{\partial t}+\alpha \eta \frac{\partial \eta }{\partial x}+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}K(x-\xi )\frac{\partial \eta (\xi ,t)}{\partial \xi }\text{d}\xi =0.$

Esta ecuación integro-diferencial para la variable oscilatoria η(x,t) lleva el nombre de Gerald Whitham que la introdujo como modelo para estudiar la ruptura de las ondas de agua dispersivas no lineales en 1967. Recientemente se ha comprobado la ruptura de las ondas -soluciones limitadas con derivadas sin límites- para la ecuación de Whitham.

Para una cierta elección del núcleo K(x − ξ) se convierte en la ecuación de Fornberg-Whitham.

Ondas de agua

Utilizando la transformada de Fourier (y su inversa), con respecto a la coordenada espacial x y en términos del número de onda k:

• Para las ondas de gravedad superficiales, la velocidad de fase c(k) en función del número de onda k se toma como:

$c_{\text{ww}}(k)=\sqrt{\frac{g}{k}\tanh (kh)},$ Plantilla:Pad while Plantilla:Pad ${\alpha }_{\text{ww}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}},$

con g la gravedad de la Tierra y h la profundidad media del agua. La Transformada integral asociada K_ww(s) es, usando la transformación inversa de Fourier:

$K_{\text{ww}}(s)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{c}_{\text{ww}}(k){\text{e}}^{iks}\text{d}k=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{c}_{\text{ww}}(k)\cos (ks)\text{d}k,$

ya que c_ww es una función uniforme del número de olas k.

• La ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación de KdV) sale al retener los dos primeros términos de una expansión en serie de c_ww(k ) para onda largas con Plantilla:Nowrap:

$c_{\text{kdv}}(k)=\sqrt{gh}(1-\frac{1}{6}{k}^2{h}^2),$ Plantilla:Pad $K_{\text{kdv}}(s)=\sqrt{gh}(\delta (s)+\frac{1}{6}{h}^2{\delta }^{\prime \prime }(s)),$ Plantilla:Pad ${\alpha }_{\text{kdv}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}},$

siendo δ(s) la función Delta de Dirac

• Bengt Fornberg y Gerald Whitham estudiaron el núcleo "K" _fw(s), adimensionalizada usando g y h:

$K_{\text{fw}}(s)=\frac{1}{2}\nu {\text{e}}^{-\nu |s|}$ Plantilla:Pad and Plantilla:Pad $c_{\text{fw}}=\frac{{\nu }^2}{{\nu }^2+k^2},$ Plantilla:Pad with Plantilla:Pad ${\alpha }_{\text{fw}}=\frac{3}{2}.$

La ecuación integro-diferencial resultante puede reducirse a la ecuación diferencial parcial conocida como la ecuación de Fornberg-Whitham:

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-{\nu }^2)(\frac{\partial \eta }{\partial t}+\frac{3}{2}\eta \frac{\partial \eta }{\partial x})+\frac{\partial \eta }{\partial x}=0.$

Esta ecuación se muestra para permitir soluciones peakon, donde peakon o «solitón pico» es un solitón con primera derivada discontinua —como modelo para las ondas de altura límite— así como la ocurrencia de rupturas de onda como es el caso de la onda de choque, ausentes por ejemplo en las soluciones de la ecuación de Korteweg-de Vries.

Bibliografía

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