Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable $y^{1-\alpha }=v$, esta ecuación es de la forma

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$$

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo abierto $(a,b)\subseteq ℝ$ con $\alpha \in ℝ$.

Solución

Caso general ($\alpha \ne 0,1$)

Dividimos la ecuación diferencial entre $y^{\alpha }$ y obtenemos

$\frac{1}{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}+P(x)\frac{y}{y^{\alpha }}=Q(x)$

o, equivalentemente

$\frac{1}{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-\alpha }=Q(x)$

Definiendo $z=y^{1-\alpha }$ obtenemos las igualdades

$\begin{array}{cc}\frac{dz}{dx}& =(1-\alpha )y^{-\alpha }\frac{dy}{dx}=\frac{1-\alpha }{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}\end{array}$

o

$\frac{1}{1-\alpha }\frac{dz}{dx}=\frac{1}{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}$

Reemplazando en la ecuación diferencial

$\frac{1}{1-\alpha }\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x)$

$\frac{dz}{dx}+(1-\alpha )P(x)z=(1-\alpha )Q(x)$

Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por

$z=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}(\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}(1-\alpha )Q(x)dx+C)$

donde $C\in ℝ$ es una constante arbitraria, como $z=y^{1-\alpha }$ entonces

$y^{1-\alpha }=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C)$

Finalmente

$y=\sqrt[1-\alpha ]{e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C)}$

$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\sqrt[1-\alpha ]{(1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C}\right]$

Casos particulares

Cuando $\alpha =0$ entonces la ecuación

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$

se reduce a la ecuación

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

cuya solución está dada por

$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

Cuando $\alpha =1$ entonces la ecuación

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$

se reduce a

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y$

que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por

$\ln y=\int (Q(x)-P(x))dx+C$

Ejemplo

Para resolver la ecuación: Plantilla:Ecuación Se hace el cambio de variable $z=y^{-2}$, que introducido en Plantilla:Eqnref da simplemente: Plantilla:Ecuación Multiplicando la ecuación anterior por el factor: $\frac{2y}{x};$ se llega a: Plantilla:Ecuación Si se sustituye Plantilla:Eqnref en la última expresión y operando: Plantilla:Ecuación Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli: Plantilla:Ecuación Y se resuelve ahora la ecuación: Plantilla:Ecuación Deshaciendo ahora el cambio de variable: Plantilla:Ecuación Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue $z=y^{-2}$: Plantilla:Ecuación

Véase también

• Ecuación Diferencial de Primer Orden
• Ecuación Diferencial Ordinaria
• Ecuación Diferencial
• Ecuación Diferencial Lineal
• Bernoulli

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Plantilla:Planetmath