Ecuación diferencial de Clairaut

Soluciones generales de la ecuación de Clairaut en que $f(p)=p^2$

Soluciones generales de la ecuación de Clairaut en que$f(p)=p^3$

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

$y=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)$

donde $y$ es función de $x$, para resolver la ecuación, se diferencia respecto a $x$, quedando:

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =\frac{d}{dx}[x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)]\\ & =\frac{dy}{dx}+x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\end{array}$

lo que se reduce a

$0=[x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)]\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

y así tenemos que

$0=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

o

$0=x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right).$

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

$y(x)=Cx+f(C),$

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

$0=x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right),$

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo

Resolver:

$x{y}^{‴}+(y^{‴}{)}^2=y^{″}.$

Se hace el cambio de variable

$y^{″}=p,$

por lo que

$x{p}^{\prime }+(p^{\prime }{)}^2=p,$

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

$p=y^{″}=Cx+C^2,$

de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:

$y=\int \int y^{″}dxdx=\int \int (Cx+C^2)dxdx=\int (\frac{C{x}^2}{2}+C^{2}x+D)dx=\frac{C{x}^3}{6}+\frac{C^2{x}^2}{2}+Dx+E,$

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución:

$y=\frac{C{x}^3}{6}+\frac{C^2{x}^2}{2}+Dx+E.$

Enlaces externos

• Plantilla:Citation. At Gallica: the paper of Clairaut introducing the equation named after him.
• Plantilla:Springer
• Representación de la envolvente de la familia de curvas de una ecuación diferencial de Clairaut