Ecuación hipsométrica

La ecuación hipsométrica o ecuación altimétrica es una ecuación utilizada en meteorología y oceanografía que relaciona un cociente entre presiones atmosféricas con el grosor equivalente de una capa atmosférica asumiendo temperatura y gravedad constantes. Se deriva de la ecuación hidrostática y de la ley de los gases ideales.

Ecuación

La ecuación hipsométrica se expresa como:

$h=z_2-z_1=\frac{R\overline{T}}{g}\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
$h$	Grosor de la capa atmosférica		m
$z$	Altitud		m
$g$	Aceleración gravitacional estándar		m / s2
$R$	Constante de los gases específica para el aire seco	287.06	J / (kg K)
$\overline{T}$	Temperatura media de la capa		K
$p$	Presión		Pa

En meteorología, $p_1$ y $p_2$ son superficies isobáricas. En altimetría, con la Atmósfera Estándar Internacional, la ecuación hipsométrica se emplea para computar la presión a una altitud dada en capas isotérmicas en la estratosfera superior e inferior.

Derivación de la ecuación

La ecuación hidrostática:

$p=\rho \cdot g\cdot z$

donde $\rho$ es la densidad [kg/m³], se usa para generar la ecuación del equilibrio hidrostático, expresada en forma diferencial:

$dp=-\rho \cdot g\cdot dz$

Esto se combina con la ley de los gases ideales:

$p=\rho \cdot R\cdot T$

Recordar que en todo el desarrollo que sigue, $R$ no es la Constante de los gases ideales sino la constante específica para el aire seco, es decir, aquí $R$ es la constante de los gases dividida por la masa molar del aire seco.

Para eliminar $\rho$:

$\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-g}{R\cdot T}\mathrm{d}z$

Esta expresión se integra entre $z_1$ y $z_2$:

$\underset{p(z_1)}{\overset{p(z_2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}\frac{-g}{R\cdot T}\mathrm{d}z$

R y g son constantes respecto de z, por lo que se pueden sacar fuera de la integral. Si la variación de la temperatura es lineal respecto de z (como se supone en la Atmósfera Estándar Internacional), también se puede sacar de la integral reemplazándola por $\overline{T}$, la temperatura media entre $z_1$ y $z_2$.

$\underset{p(z_1)}{\overset{p(z_2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-g}{R\cdot \overline{T}}\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}\mathrm{d}z$

Al integrar, se obtiene:

$\ln \left(\frac{p(z_2)}{p(z_1)}\right)=\frac{-g}{R\cdot \overline{T}}(z_2-z_1)$

que se simplifica a:

$\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)=\frac{g}{R\cdot \overline{T}}(z_2-z_1)$

Reordenando los términos, queda:

$z_2-z_1=\frac{R\cdot \overline{T}}{g}\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

o, alternativamente, eliminando el logaritmo neperiano (ln):

$\frac{p_1}{p_2}=e^{\frac{g}{R\cdot \overline{T}}\cdot (z_2-z_1)}$