Ecuaciones diferenciales autónomas

En matemáticas, una ecuación diferencial autónoma es una ecuación diferencial que no depende explícitamente de la variable independiente.

Definición

Una ecuación autónoma de orden $n$ es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:$$x^n(t)=f(x(t),x^{\prime }(t),x^{\prime \prime }(t),...,x^{n-1}(t)),$$donde $x(t)$ toma valores en un Espacio euclídeo. Son casos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden $n$ en los que la función no depende explícitamente del parámetro $t$ (que habitualmente se interpreta como tiempo). En particular, una ecuación autónoma de orden 1 es de la forma$$\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)).$$Un punto $a\in ℝ$ se dice punto crítico de la ecuación diferencial si cumple $f(a)=0$.

Propiedades de las soluciones

Invarianza por traslaciones

Si $x(t)$ es solución de la ecuación diferencial, entonces toda traslación suya también lo es.

Monotonía de las soluciones no constantes

Si la ecuación $x^{\prime }(t)=f(x(t))$ tiene solución única para todo dato inicial y $f$ es una función continua, entonces toda solución no constante es estrictamente monótona. Plantilla:Demostración

Existencia de soluciones

Para cada dato inicial $x_0$, el problema de Cauchy o de valores iniciales

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=f(x(t))\\ x(t_0)=x_0,\end{array}$$

con $f$ una función continua tiene, por lo menos, una solución definida en un entorno de $t_0$.

Unicidad de soluciones

Para el estudio de unicidad del problema de Cauchy se ha de distinguir entre datos iniciales que sean puntos críticos de $f$ y el resto de puntos.

Datos iniciales que no sean puntos críticos

Dado un punto inicial $x(t_0)=x_0$ que verifica $f(x_0)\ne 0$ (con $f$ una función continua en $x_0$), existe una única solución al problema de Cauchy.

Puntos críticos como dato inicial

Para los puntos críticos, el estudio de la inversa de la solución, $F_{x_0}$, sirve para determinar la unicidad. Si la solución es única, es decir, la recta horizontal $x(t)=a$ (con $a$ un punto crítico) es una asíntota horizontal de la solución, $F_{x_0}$ presentará una asíntota vertical. Por el contrario, si la solución no es única, la inversa de la solución no tendrá una asíntota vertical. Por lo tanto, la unicidad de las soluciones para cada punto crítico $a$ se reduce al estudio de la integral impropia $\underset{x\to a}{\lim }{\int }_{x_0}^x\frac{1}{f(s)}ds$ . Si la integral converge la solución no es única, mientras que si diverge, hay unicidad.

Puntos críticos y estabilidad

Se llaman soluciones estacionarias de la ecuación autónoma de primer orden $x^{\prime }(t)=f(x(t))$ a todas las funciones constates de la forma $x(t)=a$ , siendo $a$ un punto crítico.

Dado el problema de Cauchy$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=f(x(t))\\ x(0)=x_0,\end{array}$$

sea $x=a$ un punto crítico. Diremos que $x(t)=a$ es una solución estable si dado $ϵ>0$, existe $\delta >0$ tal que para todo punto $x_0\in U$ con $|x_0-a|<\delta$ se tiene que la solución maximal $x(t)$ del problema de valor inicial está definida para todo $t\in [0,\mathrm{\infty })$ y $|x(t)-a|<ϵ,t\in [0,\mathrm{\infty })$. Por otro lado, diremos que a es asintóticamente estable si es estable y además existe $r>0$ tal que si $|x_0-a|<r$, entonces la solución $x(t)$ del problema de valor inicial verifica: $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }|x(t)-a|=0.$ Finalmente, diremos que $a$ es inestable si no es estable.

Un criterio para establecer el comportamiento de las soluciones estacionarias es el signo de $f^{\prime }(a)$. Si $f^{\prime }(a)<0$ entonces $a$ es asintóticamente estable. Si $f^{\prime }(a)>0$ entonces $a$ no es estable. En el caso de que la derivada sea igual a 0, no se puede concluir nada.

Ejemplo

La ecuación diferencial $y(x{)}^{\prime }=(2-y(x))y(x)$ es autónoma. El siguiente código de MATLAB genera una gráfica en la que se muestran

Campo de pendientes y soluciones

algunas soluciones particulares de la ecuación para distintos datos iniciales. Además en él se grafican los campos de pendientes.

Por otro lado se hallan las soluciones estacionarias $y=0$ e $y=2$,

y

$\frac{2e^{2x}}{C_1+e^{2x}}$

como solución que depende de la constante

$C_1\in ℝ$

.

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % función f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % tamaños de la gráfica
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % valores de la gráfica
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % graficamos el campo de pendientes en negro
hold on
title('Campo de pendientes y soluciones particulares para f(x,y)=(2-y)y')
syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% resolvemos la ecuación diferencial para hallar una solución general
y_general = dsolve(equation);
% resolvemos para distintos valores iniciales
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% graficamos las soluciones
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
legend('Campo de pendientes', 'Soluciones particulares');
grid on;

Referencias

Plantilla:ReflistV.I. Arnold "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”

L. Perko. “Differential Equations and Dynamical Systems"

Wikipedia contributors. (2022, March 21). Autonomous system (mathematics). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 09:19, May 3, 2022