Eliminación de denominadores

En matemáticas, el método de eliminación de denominadores, también llamado de simplificación de fracciones, es una técnica para simplificar una ecuación equiparando dos expresiones que son cada una una suma de funciones racionales, que incluyen fracciones simples.

Ejemplo

Considérese la ecuación

$\frac{x}{6}+\frac{y}{15z}=1.$

El mínimo común múltiplo de los dos denominadores 6 y 15z es 30z. Entonces, se multiplican ambos lados por 30z:

$5xz+2y=30z.$

El resultado es una ecuación sin fracciones.

La ecuación simplificada no es totalmente equivalente a la original. Porque cuando se sustituye Plantilla:Nowrap y Plantilla:Nowrap en la última ecuación, ambos lados se simplifican a 0, por lo que se obtiene Plantilla:Nowrap, una verdad matemática. Pero la misma sustitución aplicada a la ecuación original da como resultado Plantilla:Nowrap, que es matemáticamente carente de sentido.

Descripción

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que un miembro de la ecuación es 0, ya que una ecuación Plantilla:Nowrap se puede reescribir de manera equivalente en la forma Plantilla:Nowrap.

Así que la ecuación tiene la forma

$\sum _{i=1}^n\frac{P_i}{Q_i}=0.$

El primer paso es determinar un denominador común Plantilla:Mvar de estas fracciones, preferiblemente el mínimo común denominador, que es el mínimo común múltiplo de Plantilla:Mvar.

Esto significa que cada Plantilla:Mvar es un factor de Plantilla:Mvar, y entonces Plantilla:Nowrap para alguna expresión Plantilla:Mvar que no sea una fracción. Luego

$\frac{P_i}{Q_i}=\frac{R_i{P}_i}{R_i{Q}_i}=\frac{R_i{P}_i}{D},$

siempre que Plantilla:Mvar no asuma el valor 0, en cuyo caso también Plantilla:Mvar es igual a 0.

Entonces se tiene que

$\sum _{i=1}^n\frac{P_i}{Q_i}=\sum _{i=1}^n\frac{R_i{P}_i}{D}=\frac{1}{D}\sum _{i=1}^n{R}_i{P}_i=0.$

Siempre que Plantilla:Mvar no asuma el valor 0, la última ecuación es equivalente a

$\sum _{i=1}^n{R}_i{P}_i=0,$

en el que los denominadores han desaparecido.

Como se muestra en las condiciones, se debe tener cuidado de no introducir ceros de Plantilla:Mvar (vistos como funciones de los valores desconocidos de la ecuación), como soluciones espurias.

Ejemplo 2

Considérese la ecuación

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}=0.$

El mínimo común denominador es Plantilla:Nowrap.

Seguir el método descrito anteriormente da como resultado

$(x+2)+(x+1)-x=0.$

Simplificando la expresión todavía más se genera la solución Plantilla:Nowrap.

Se comprueba fácilmente que ninguno de los ceros de Plantilla:Nowrap, a saber, Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap y Plantilla:Nowrap, es una solución de la ecuación final, por lo que no se introdujeron soluciones falsas.

Bibliografía

• Plantilla:Cite book