Enlace fuerte

En Física del Estado Sólido, el tight binding model (o TB model) es un enfoque para calcular la estructura de bandas electrónicas usando como aproximación una base de funciones de onda basado en una combinación lineal de estas. El método es aplicado a una amplia variedad de sólidos y da buenos resultados cualitativos en muchos casos. Puede ser combinado con otros modelos y dar mejores resultados donde el método falla.

Introducción

El nombre de "tight binding" o "aproximación de enlace fuerte" sugiere que este modelo de Mecánica Cuántica, describe las propiedades de los electrones fuertemente enlazados en un sólido. Plantilla:Cita

Formulación Matemática

El cristal como una colección de átomos

Una buena aproximación para el potencial electrónico $V(𝒓)$ en un cristal es la suma de todo los potenciales atómicos:

$V(𝒓)\equiv \sum _R{V}_{at}(𝒓\mathit{-}𝑹)$ .

donde la suma corre sobre todos los vectores del arreglo. Sin embargo el potencial es periódico por construcción:

$V(𝒓\mathit{+}{𝑹}_{𝒐})=\sum _R{V}_{at}(𝒓\mathit{+}{𝑹}_{𝒐}\mathit{-}𝑹)$ .

$=\sum _R{V}_{at}(𝒓\mathit{-}\mathit{(}𝑹\mathit{-}{𝑹}_{𝒐}\mathit{)})$

$=\sum _{R^{\prime }}{V}_{at}(𝒓\mathit{-}{𝑹}^{\prime }\mathit{)})\equiv V(𝒓)$

Sumas de Bloch

Considere un elemento con un átomo por celda unitaria, y suponga que cada átomo tiene solo un orbital de valencia ${\varphi }_K(𝒓)$ Entonces formamos una función de onda de Bloch del tipo:

${\phi }_K(𝒓)=N^{-1/2}\sum _m{e}^{iK\cdot R_m}\varphi (𝒓-{𝑹}_{𝒎}).$ .

• Demostremos que realmente es una función de Bloch:

${\phi }_K(𝒓\mathit{+}𝑹)=N^{-1/2}\sum _m{e}^{iK\cdot R_m}\varphi (𝒓\mathit{+}𝑹-{𝑹}_{𝒎}).$ .

$=N^{-1/2}{e}^{iK\cdot R}\sum _m{e}^{iK\cdot R_m-R}\varphi (𝒓-({𝑹}_{𝒎}\mathit{-}𝑹))$

$=e^{iK\cdot R}{\phi }_K(𝒓)$

• La energía esperada del Hamiltoniano es :

${\epsilon }_k=\int d^{3}r{\varphi }_K^{*}(𝒓)H(𝒓){\varphi }_K(𝒓)=⟨k|H|k⟩=N^{-1}\sum _m\sum _n{e}^{iK\cdot (R_m-R_n)}⟨{\varphi }_m|H|{\varphi }_n⟩$

$⟨{\varphi }_m|H|{\varphi }_n⟩$ será más grande si n y m están en el mismo sitio atómico, o son vecinos más cercanos, pero disminuirá rápidamente con la distancia.