Espacio de Brauner

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Brauner es un espacio localmente convexo generado de forma compacta completo $X$ que tiene una secuencia de conjuntos compactos $K_n$ tal que todos los demás conjuntos compactos $T\subseteq X$ están contenidos en algún $K_n$.

Los espacios de Brauner llevan el nombre de Kalman George Brauner, que fue quien comenzó su estudio.Plantilla:Sfn Todos los espacios de Brauner son espacios estereotipos, y aparecen en las relaciones de dualidad estereotipadas con los espacios de Fréchet:Plantilla:SfnPlantilla:Sfn

• Para cualquier espacio de Fréchet $X$, su espacio dual estereotipado $X^{\star }$ es un espacio de Brauner,
• y viceversa, para cualquier espacio de Brauner $X$ su espacio dual estereotipado $X^{\star }$ es un espacio de Fréchet.

Los casos especiales de espacios de Brauner son los espacios de Smith.

Ejemplos

• Sea $M$ un espacio topológico localmente compacto $\sigma$ compacto, y sea $𝒞(M)$ el espacio de Fréchet de todas las funciones continuas en $M$ (con valores en $ℝ$ o $ℂ$), dotado de la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en $M$. El espacio dual ${𝒞}^{\star }(M)$ de medida de Radon con soporte compacto en $M$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos en $𝒞(M)$ es un espacio de Brauner.
• Sea $M$ una variedad diferenciable, y sea $ℰ(M)$ el espacio de Fréchet de todas las funciones suaves en $M$ (con valores en $ℝ$ o $ℂ$), dotadas de la topología habitual de convergencia uniforme con cada derivada en conjuntos compactos en $M$. El espacio dual ${ℰ}^{\star }(M)$ de distribuciones con soporte compacto en $M$ con topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en $ℰ(M)$ es un espacio de Brauner.
• Sea $M$ una variedad de Stein y $𝒪(M)$ el espacio de Fréchet de todas las funciones holomorfas en $M$ con la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en $M$. El espacio dual ${𝒪}^{\star }(M)$ de funcionales analíticos en $M$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en $𝒪(M)$ es un espacio de Brauner.

En el caso especial en el que $M=G$ posee una estructura de grupo topológico, los espacios ${𝒞}^{\star }(G)$, ${ℰ}^{\star }(G)$, ${𝒪}^{\star }(G)$ se convierten en ejemplos naturales de álgebras de grupo de estereotipos.

• Sea $M\subseteq {ℂ}^n$ una variedad algebraica afín compleja. El espacio $𝒫(M)=ℂ[x_1,...,x_n]/\{f\in ℂ[x_1,...,x_n]:f{|}_M=0\}$ de polinomios (o funciones regulares) en $M$, al estar dotado de la topología localmente convexa más fuerte, se convierte en un espacio de Brauner. Su estereotipo de espacio dual ${𝒫}^{\star }(M)$ (de corrientes en $M$) es un espacio de Fréchet. En el caso especial en el que $M=G$ es un grupo algebraico afín, ${𝒫}^{\star }(G)$ se convierte en un ejemplo de álgebra de grupos estereotipados.
• Sea $G$ un grupo de Stein generado de forma compacta. El espacio ${𝒪}_{\exp }(G)$ de todas las funciones holomorfas de tipo exponencial en $G$ es un espacio de Brauner con respecto a una topología natural.Plantilla:Sfn

Véase también

• Espacio reflexivo
• Espacio de Smith

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite journal
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