Espacio maximalmente simétrico

Un espacio maximalmente simétrico (EMS) es un espacio métrico en el que puede definirse el concepto de dimensión y donde el grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible. Si se considera un espacio métrico real de dimensión d la dimensión máxima posible del grupo de isometría, que es un grupo de Lie, resulta ser d(d+1)/2.

Espacio euclídeo

En el espacio euclídeo el grupo de traslaciones tiene dimensión d y el de rotaciones tiene dimensión: Plantilla:Ecuación La combinación de traslaciones, rotaciones y simetría especulares y de inversión varias da el grupo de isometría del espacio que por tanto tiene dimensión: Plantilla:Ecuación El grupo de isometría del espacio euclídeo admite el siguiente isomorfismo: Plantilla:Ecuación donde $\text{O}(d)$ es el grupo ortogonal d-dimensional.

Variedades riemannianas

Una superficie esférica S² constituye un caso de espacio bidimensional maximalmente simétrico.

Los espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión: Plantilla:Ecuación donde $g_{ij}$ es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera. En tensor de Ricci $R_{ij}$ y la curvatura escalar $S$son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura: Plantilla:Ecuación y donde $n$ es la dimensión del espacio.

La geometría hiperbólica y la geometría elíptica (además de la geometría euclídea) son casos particulares de geometrías riemannianas uniformes que son maximalmente simétricas. Para las geometrías hiperbólica y elíptica existe un parámetro llamado "radio" R relacionado con el valor no nulo de C mediante la relación: Plantilla:Ecuación escogiendo el sistema de unidades adecuadamente puede obtenerse |R| = 1 y por tanto |C| = 1. En el caso de la geometría elíptica R coincide con el radio de la n-esfera que se use como modelo de geometría elíptica.

Los grupos de isometría de los espacios maximalmente simétricos de curvatura positiva y negativa son: Plantilla:Ecuación Donde:

${𝕊}^d,{ℍ}^d$, son repsectivamente el EMS de curvatura positiva y el EMS de curvatura negativa.

$\text{O}(d+1)$, es el grupo ortogonal d+1-dimensional.

${\text{O}}_{+}(d,1)$, es el subgrupo ortocrono del grupo de Lorentz d+1-dimensional.

Referencias

• Plantilla:Cita libro

Plantilla:Control de autoridades