Espacio tensorial

Sea E un módulo sobre un anillo conmutativo A unitario. Se denomina tensor p veces contravariante y q veces covariante en E a cualquier elemento del producto tensorial $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{\ast }$, donde $E^{\ast }$ es el módulo dual de E.

Sea u un automorfismo de A-módulo E, ${}^{t}u$ es el morfismo contragrediente de $E^{\ast }$, es decir el automorfismo definido por ${}^{t}u(\phi )=\phi \circ u$. Se puede definir una acción del grupo lineal GL(E) sobre $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{\ast }$ mediante:

$\begin{array}{cccc}u\cdot x=& \underbrace{(u\otimes \cdots \otimes u}& \otimes & \underbrace{{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)}(x)\\ & p& & q\end{array}$

Se denomina espacio tensorial en E a cualquier submódulo H de $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{\ast }$ estable para la ley externa $(u,x)\mapsto u\cdot x$.