Espacio vectorial topológico ordenado

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y en la teoría del orden, un espacio vectorial topológico ordenado, también llamado EVT ordenado, es un espacio vectorial topológico (EVT) $X$ que tiene un orden parcial (≤) en un espacio vectorial ordenado cuyo cono positivo $C:=\{x\in X:x\ge 0\}$ es un subconjunto cerrado de $X$. Plantilla:Sfn Los EVT ordenados tienen aplicaciones importantes en teoría espectral.

Cono normal

Si C es un cono en un EVT $X$, entonces C es normal si $𝒰={\left[𝒰\right]}_C$, donde $𝒰$ es el filtro de entornos en el origen, ${\left[𝒰\right]}_C=\{\left[U\right]:U\in 𝒰\}$ y $[U{]}_C:=(U+C)\cap (U-C)$ es el entorno C-saturado de un subconjunto $U$ de $X$. Plantilla:Sfn

Si C es un cono en un EVT $X$ (sobre los números reales o complejos), entonces los siguientes enunciados son equivalentes:Plantilla:Sfn

1. C es un cono normal.
2. Para cada filtro $ℱ$ en $X$, si $\lim ℱ=0$ entonces $\lim {\left[ℱ\right]}_C=0$.
3. Existe una base de entornos $ℬ$ en $X$ tal que $B\in ℬ$ implica que ${[B\cap C]}_C\subseteq B$.

y si $X$ es un espacio vectorial sobre los números reales, entonces también:Plantilla:Sfn

1. Existe una base de entornos en el origen que consta de conjuntos convexos, equilibrados y C-saturados.
2. Existe una familia generadora $𝒫$ de semi-normas en $X$ tal que $p(x)\le p(x+y)$ para todos los $x,y\in C$ y $p\in 𝒫$.

Si la topología en $X$ es localmente convexa, entonces el cierre de un cono normal es un cono normal.Plantilla:Sfn

Propiedades

Si C es un cono normal en $X$, y B es un subconjunto acotado de $X$, entonces ${\left[B\right]}_C$ está acotado. En particular, cada intervalo $[a,b]$ está acotado.Plantilla:Sfn Si $X$ es de Hausdorff, entonces todo cono normal en $X$ es un cono propio.Plantilla:Sfn

Propiedades

• Sea $X$ un espacio vectorial ordenado sobre los números reales que es de dimensión finita. Entonces, el orden de $X$ es arquimediano si y solo si el cono positivo de $X$ está cerrado para la topología única bajo la cual $X$ es un EVT de Hausdorff.Plantilla:Sfn
• Sea $X$ un espacio vectorial ordenado sobre los reales con cono positivo C. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:Plantilla:Sfn

1. El orden de $X$ es regular.
2. C se cierra secuencialmente para alguna topología de un EVT localmente convexo de Hausdorff en $X$; y $X^{+}$ distingue puntos en $X$
3. El orden de $X$ es arquimediano, y C es normal para algunas topologías de un EVT localmente convexo de Hausdorff en $X$.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro