Espinor de Weyl

Un espinor de Weyl o espinor relativista es un tipo de espinor, elemento de un espacio vectorial $({ℂ}^2,\cdot )$ dotado de una forma simpléctica que le da estructura de variedad simpléctica lineal, usado para representar de manera matemáticamente conveniente cuadrivectores del espacio-tiempo de Minkowski de cuatro dimensiones. Deben su nombre al matemático alemán Hermann Weyl, que los investigó a principios de Plantilla:Siglo. Los espinores de Weyl generalizan a los espinores de Pauli.

Introducción

Existe una correspondencia cuadrivectores y ciertas matrices hermíticas expresables como combinación de matrices de Pauli y la identidad. Para construir dicha relación primero representamos cuadrivectores $𝐗=(ct,x,y,z)$ como matrices, de la siguiente forma: Plantilla:Ecuación Formalmente esta matriz es un elemento del álgebra de Lie del grupo SL(2,C) que es un espacio vectorial real de dimensión 6, por tanto, isomorofo al espacio ${ℝ}^6$. Denominaremos a las matrices de esta última forma que sí representan puntos del espacio-tiempo de Minkowski como "cuadrivectores de Weyl". Lo interesante de esta forma de representar los cuadrivectores como "cuadrivectores de Weyl" o matirces de sl(2,C), es que las transformaciones de Lorentz propias admiten una representación más simple en términos de estas matrices. Consideremos una transformación de Lorentz del SO(1,3), $\mathrm{\Lambda }\in {\text{SO}}^{+}(1,3)$ y consideremos su actuación sobre el cuadrivector $𝐗$: Plantilla:Ecuación Resulta que se puede alguna matriz $𝐋\in \text{SL}(2,ℂ)$ tal que el resultado de la rotación puede calcularse como: Plantilla:Ecuación donde se tiene también ${\widehat{𝐗}}^{\prime }=\widehat{\mathrm{\Lambda }𝐫}$. De hecho, puesto que SL(2,C) es el grupo topológico que es el recubridor universal de SO(3,1), siendo como espacio recubridor un espacio que recubre dos veces la matriz $𝐋$ no es única, de hecho tanto $𝐋$ como su opuesta $-𝐋$ satisfacen la relación anterior. Otra propiedad notoria es que el determinante de la matriz que representa a un cuadrivector, coincide numéricamente con la pseudonorma del cuadrivector: Plantilla:Ecuación

Definición de espacio simpléctico de espinores de Weyl

El espacio de espinores de Weyl $S_W=({ℂ}^2,\mathit{ϵ})$ está formado por pares de números complejos $({\xi }_1,{\xi }_2)\in S_P$ cuya forma simpléctica se define como: Plantilla:Ecuación El producto tensorial de dos espinores se transforma como un cuadrivector, es decir, la combinación: Plantilla:Ecuación

Nótese que cualquier "cuadrivector isótropo" o "de tipo luz" (con $c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2=0$) se puede expresar como producto de dos espinores de Weyl que tienen componentes iguales a $|{\psi }^1|=\sqrt{ct+z}$, $|{\psi }^2|=\sqrt{ct-z}$ y $\text{arg}(\psi /{\psi }^2)=\arctan (y/x)$. Igualmente se puede demostrar que ciertos productos con un número par de espinores de Weyl dan lugar a una mangitud que bajo transformaciones de Lorentz se transforma como una magnitud tensorial ordinaria. Sin embargo, los productos de un número impar de espinores de Weyl, son propiamente magnitudes espinoriales, y por tanto, bajo una rotación $2\pi$ alrededor de un eje fijo cambian de signo y, por tanto, no pueden ser interpretados como magnitudes tensoriales.

Referencias

Bibliografía

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