Fórmulas de la tangente del ángulo mitad

En trigonometría, las fórmulas de la tangente del ángulo medio relacionan la tangente de la mitad de un ángulo con las funciones trigonométricas del ángulo completo.

Fórmulas

$\begin{array}{cc}\tan \left(\frac{\eta \pm \theta }{2}\right)& =\frac{\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }=-\frac{\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta },\\ \tan (\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}=\frac{\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta },& & (\eta =0)\\ \tan (\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }=\frac{\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),& & (\eta =0)\\ \tan (\frac{1}{2}(\theta \pm \frac{\pi }{2}))& =\frac{1\pm \sin \theta }{\cos \theta }=\sec \theta \pm \tan \theta =\frac{\csc \theta \pm 1}{\cot \theta },& & (\eta =\frac{\pi }{2})\\ \tan (\frac{1}{2}(\theta \pm \frac{\pi }{2}))& =\frac{\cos \theta }{1\mp \sin \theta }=\frac{1}{\sec \theta \mp \tan \theta }=\frac{\cot \theta }{\csc \theta \mp 1},& & (\eta =\frac{\pi }{2})\\ \frac{1-\tan (\theta /2)}{1+\tan (\theta /2)}& =\pm \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}\\ \tan \frac{\theta }{2}& =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\end{array}$

De estas expresiones se pueden derivar identidades que expresan el seno, el coseno y la tangente como funciones de tangentes de medios ángulos:

$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}\\ \cos \alpha & =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}\\ \tan \alpha & =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}\end{array}$

Demostraciones

Demostraciones algebraicas

Usando identidades y fórmulas de trigonometría y la identidad pitagórica ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, se obtiene

$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}\frac{\cos \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}}{\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}+\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}=\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}},\text{and}$

$\cos \alpha ={\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}-\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}{\frac{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}+\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}=\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}.$

Tomando el cociente de las fórmulas del seno y del coseno, se obtiene:

$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}.$

Combinando la identidad pitagórica con la fórmula de doble ángulo para el coseno, $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$,

reorganizando y tomando las raíces cuadradas

$|\sin \alpha |=\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha }{2}}$ y $|\cos \alpha |=\sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$

que, tras la división, da

$|\tan \alpha |=\frac{\sqrt{1-\cos 2\alpha }}{\sqrt{1+\cos 2\alpha }}=\frac{\sqrt{1-\cos 2\alpha }\sqrt{1+\cos 2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }=\frac{\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }=\frac{|\sin 2\alpha |}{1+\cos 2\alpha }.$

Alternativamente,

$|\tan \alpha |=\frac{\sqrt{1-\cos 2\alpha }}{\sqrt{1+\cos 2\alpha }}=\frac{1-\cos 2\alpha }{\sqrt{1+\cos 2\alpha }\sqrt{1-\cos 2\alpha }}=\frac{1-\cos 2\alpha }{\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }}=\frac{1-\cos 2\alpha }{|\sin 2\alpha |}.$

Los signos de valor absoluto pueden eliminarse cuando se trabaja solo en el primer cuadrante.

Además, usando las fórmulas de suma y resta de ángulos tanto para el seno como para el coseno, se obtiene:

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

La suma por pares de las cuatro fórmulas anteriores produce:

$\begin{array}{cc}\sin (a+b)+\sin (a-b)& =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\ & =2\sin a\cos b\\ \cos (a+b)+\cos (a-b)& =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ & =2\cos a\cos b\end{array}$

Tomando $a=\frac{p+q}{2}$ y $b=\frac{p-q}{2}$, y procediendo a su sustitución, resulta:

$\begin{array}{cc}\sin (\frac{p+q}{2}+\frac{p-q}{2})+\sin (\frac{p+q}{2}-\frac{p-q}{2})& =\sin (p)+\sin (q)\\ & =2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \cos (\frac{p+q}{2}+\frac{p-q}{2})+\cos (\frac{p+q}{2}-\frac{p-q}{2})& =\cos (p)+\cos (q)\\ & =2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\end{array}$

Dividiendo la suma de senos por la suma de cosenos, se llega a:

$\frac{\sin (p)+\sin (q)}{\cos (p)+\cos (q)}=\frac{2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)}{2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)}=\tan \left(\frac{p+q}{2}\right)$

Demostración geométrica

Aplicando las fórmulas demostradas arriba a la figura del rombo de la derecha, se comprueba fácilmente que

Los lados de este rombo tienen longitud 1. El ángulo entre la línea horizontal y la diagonal mostrada es Plantilla:Math. Esta es una forma geométrica de demostrar la fórmula de la tangente del ángulo mitad. Las fórmulas Plantilla:Math y Plantilla:Math solo muestran su relación con la diagonal, no el valor real

$\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}.$

En el círculo unitario, la aplicación de lo anterior muestra que $t=\tan \left(\frac{\phi }{2}\right)$. Por semejanza,

$\frac{t}{\sin \phi }=\frac{1}{1+\cos \phi }$. De ello se deduce que $t=\frac{\sin \phi }{1+\cos \phi }=\frac{\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}=\frac{1-\cos \phi }{\sin \phi }.$

La sustitución de la tangente del ángulo mitad en el cálculo integral

Prueba geométrica de la sustitución de Weierstrass

En varias aplicaciones de trigonometría, es útil reescribir las diversas funciones (como senos y cosenos) en términos de cocientes de una nueva variable $t$. Estas identidades se conocen colectivamente como las fórmulas en la tangente del ángulo mitad debido a la definición de $t$. Estas identidades pueden ser útiles en cálculo infinitesimal para convertir funciones racionales expresadas en senos y cosenos, en funciones de Plantilla:Math para encontrar sus primitivas.

Técnicamente, la existencia de fórmulas a partir de la tangente del ángulo mitad se deriva del hecho de que la circunferencia es una curva algebraica de genus 0. Esto implica que las "funciones circulares" sean reducibles a funciones racionales.

Geométricamente, la construcción es la siguiente: para cualquier punto (cos φ, sin φ) en la circunferencia goniométrica, dibujar la recta que lo atraviesa y el punto Plantilla:Math. Este punto cruza el eje Plantilla:Math en algún punto Plantilla:Math. Se puede demostrar usando geometría elemental que Plantilla:Math. La ecuación de la recta dibujada es Plantilla:Math. La ecuación para la intersección de la recta y el círculo es entonces una ecuación de segundo grado que involucra a Plantilla:Math. Las dos soluciones de esta ecuación son Plantilla:Math y Plantilla:Math. Esto permite escribir estas últimas como funciones racionales de Plantilla:Math (las soluciones se dan a continuación).

El parámetro Plantilla:Math representa la proyección estereográfica del punto Plantilla:Math en el eje Plantilla:Math con el centro de proyección en Plantilla:Math. Por lo tanto, las fórmulas en función de la tangente del ángulo mitad dan conversiones entre la coordenada estereográfica Plantilla:Math en el círculo unitario y la coordenada angular estándar Plantilla:Math.

Entonces, se tiene que

$\begin{array}{cccc}& \cos \phi =\frac{1-t^2}{1+t^2},& & \sin \phi =\frac{2t}{1+t^2},\\ & \tan \phi =\frac{2t}{1-t^2}& & \cot \phi =\frac{1-t^2}{2t},\\ & \sec \phi =\frac{1+t^2}{1-t^2},& & \csc \phi =\frac{1+t^2}{2t},\end{array}$

y

$e^{i\phi }=\frac{1+it}{1-it},e^{-i\phi }=\frac{1-it}{1+it}.$

Al eliminar phi entre esta última expresión y la definición inicial de $t$, se llega a la siguiente relación útil para trabajar con la función trigonométrica inversa en términos del logaritmo natural

$\arctan t=\frac{1}{2i}\ln \frac{1+it}{1-it}.$

En cálculo infinitesimal, la sustitución de Weierstrass se utiliza para encontrar las primitivas de funciones racionales de Plantilla:Math y Plantilla:Math. Después de configurar

$t=\tan \frac{1}{2}\phi .$

Esto implica que

$\phi =2\arctan (t)+2\pi n,$

para algún entero Plantilla:Math, y por lo tanto

$d\phi =\frac{2dt}{1+t^2}.$

Identidades hiperbólicas

Se puede desarrollar un razonamiento completamente análogo con las funciones hiperbólicas. Un punto en la rama derecha de una hipérbola viene dado por Plantilla:Math. Proyectar esto en el eje Plantilla:Math desde el centro Plantilla:Math, obteniéndose lo siguiente:

$t=\tanh \frac{1}{2}\theta =\frac{\sinh \theta }{\cosh \theta +1}=\frac{\cosh \theta -1}{\sinh \theta }$

con las identidades

$\begin{array}{cccc}& \cosh \theta =\frac{1+t^2}{1-t^2},& & \sinh \theta =\frac{2t}{1-t^2},\\ & \tanh \theta =\frac{2t}{1+t^2},& & \coth \theta =\frac{1+t^2}{2t},\\ & \mathrm{sech}\theta =\frac{1-t^2}{1+t^2},& & \mathrm{csch}\theta =\frac{1-t^2}{2t},\end{array}$

y

$e^{\theta }=\frac{1+t}{1-t},e^{-\theta }=\frac{1-t}{1+t}.$

Encontrar Plantilla:Math en términos de Plantilla:Math conduce a la siguiente relación entre el ar-tangente hiperbólico y el logaritmo natural:

$\mathrm{artanh}t=\frac{1}{2}\ln \frac{1+t}{1-t}.$

("ar-" se usa en lugar de "arc-" porque "arc" se refiere a la longitud del arco y "ar" abrevia "área". Es el área entre dos rayos y una hipérbola, en lugar de la longitud del arco entre dos rayos medidos en un arco de círculo.)

Función de Gudermann

Comparando las identidades hiperbólicas con las circulares, se observa que involucran las mismas funciones de Plantilla:Math, simplemente permutadas. Si se identifica el parámetro Plantilla:Math en ambos casos, se llega a una relación entre las funciones circulares y las hiperbólicas. Es decir, si

$t=\tan \frac{1}{2}\phi =\tanh \frac{1}{2}\theta$

entonces

$\phi =2{\tan }^{-1}\tanh \frac{1}{2}\theta \equiv \mathrm{gd}\theta .$

donde Plantilla:Math es la función de Gudermann, que da una relación directa entre las funciones circulares y las hiperbólicas que no involucra números complejos. Las descripciones anteriores de las fórmulas respecto a la tangente del ángulo mitad (proyección del círculo unitario y la hipérbola estándar sobre el eje Plantilla:Math) dan una interpretación geométrica de esta función.

Ternas pitagóricas

Plantilla:AP La tangente de la mitad de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo cuyos lados son un triplete pitagórico será necesariamente un número racional en el intervalo Plantilla:Math. Y viceversa, cuando la tangente de medio ángulo es un número racional en el intervalo Plantilla:Math, hay un triángulo rectángulo con el ángulo completo cuyas longitudes de los lados forman un triple pitagórico.

Véase también

• Identidades y fórmulas de trigonometría
• Fórmulas de la mitad del lado

Enlaces externos

• Tangente del ángulo reducido a la mitad Plantilla:Wayback en PlanetMath

Plantilla:Control de autoridades