Factorial exponencial

El factorial exponencial es un entero positivo n elevado a la potencia n-1, el cual a su vez está elevada a la potencia n-2, y así sucesivamente. Se suele usar como notación el símbolo identificativo del factorial en el lugar del exponente $n^{!}$. Se define:

$a_n=n^{{(n-1)}^{{(n-2)}^{\cdots }}}$

También puede definirse mediante la siguiente relación de recurrencia:

$a_0=1,a_n=n^{a_{n-1}}$

Los primeros factoriales exponenciales son:

$n$	$n^{!}$
0	1
1	1
2	2
3	9
4	262.144
5	6,2... × 10183230

Su crecimiento es mayor que el de los factoriales e incluso que el de los hiperfactoriales. El factorial exponencial de n=5 tiene 183.231 dígitos.

La suma infinita de los inversos de los factoriales exponenciales es:

$S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{262144}+\cdots =1,6111149258083767361111\dots$

cuyo resultado es un número de Liouville, y por tanto irracional.

Enlaces externos

• Very Big Number, Nrich (1999) (en inglés)