Fracción continua de Rogers-Ramanujan

La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por Plantilla:Harvtxt y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.

Definición

La fracción continua de Ramanujan es Plantilla:Ecuación

donde:

$G(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+\cdots$ Plantilla:OEIS

y

$H(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+\cdots .$ Plantilla:OEIS

son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.

Aquí, $(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}$ denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.

Formas modulares

Si q = e^2πiτ, entonces q^−1/60G(q) y q^11/60H(q) y también q^1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.

Ejemplos

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\dots }}}=\left(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi \right)=0.9981360\dots$

donde $\phi$ es el número áureo (Aproximadamente 1.618)

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

Referencias

• Plantilla:Obra citada
• Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp.Plantilla:Esd9–24.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
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